いきなり「確率変数」と言われたらどうするか - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

Vが集合（実際には可測空間のはず）で、xがV上を走る変数のとき、「xは確率変数である」とか「xを確率変数とする」みたいなことになったら、どう解釈するか。

そのときは、V上の確率分布（確率測度）が存在していて、暗黙にその分布を前提にしている。可測空間V上の確率測度をPとすると、(V, P)が確率空間で、id_V:V→V は明らかに可測写像。id_Vの代用（象徴的な表現）が変数x、と解釈する。

次の表現はどう解釈するか？

「x:V は確率変数」の意味は、「V上に確率測度Pがある」と解釈する。すると、fは確率空間の台Vからの可測写像なので、定義から確かに確率変数である。xがid_Vを意味するときは、f(x) = f なので、実は何も言ってない。強いて言えば、fの定義域に確率測度があることを再確認している。

「確率変数」と同義な表現に「分布する値」がある。これも決して明示化されない習慣だと思うが、次の表現を考える。

「値」が「関数」を意味することがしばしばある。例えば「t値」とは「t」と名付けられた関数のこと。「fはV上に分布する」は、「fはVに値を取る確率変数」と同じ。暗黙に、fの定義域が確率空間 (X, Q)だと仮定している。なお、期待値は、

$e = \int_{x\in X}f(x) Q(dx)$

fによるQの前送り測度がPになっているなら、

$e = \int_{x\in X}f(x) Q(dx) = \int_{v\in V} y P(dv)$

いきなり、x 〜 N(0, σ²) とかは、xが集合（可測空間）X上の変数で、X上に密度で表現可能な測度（Xの標準測度に関して絶対連続な測度）があって、その密度関数が当該の正規分密度関数になっている、と解釈する。変数xが走る"変域”が正規分布で定義される確率空間と仮定している。

「x 〜 N(0, σ²) なので、x²はχ²分布に従う」の解釈は、xの変域に正規分布による確率測度が存在し、λx.x² で定義される可測関数でその測度を前送りすると、χ²分布による確率測度になる。

「分布」は基本的に確率測度のことだが、密度関数（p.d.f.）、累積分布関数（a.d.f）を意味することもある。

さらに非形式的な表現で、「値fは幅を持つ」。これは「値fは分布する」と同じで「fは確率変数」を意味する。「幅を持つ」は「定数ではない」ことかと思うが、定数関数は確率変数（分布はディラック測度）なので、「定数でない＝確率変数」はまったく不合理だが、まーしょうがない。