統計変換

確率変数または確率分布を引数として実数値を返す関数を統計汎関数と呼ぶ（これはある程度一般的な用語）。引数に確率変数を取っても、同じ分布なら同じ値となる統計汎関数が多く、実質的には分布で統計汎関数の値が決まると言ってもよいだろう。しかし、代数的には確率変数に対して汎関数が定義されているとみなしたほうが便利なこともある。

確率変数または確率分布を引数として、確率変数または確率分布を返す関数を統計変換と呼ぶことにする。統計作用素を使いたかったが、他の意味で使われることがあるようなので、統計変換にする。

標準化統計変換 Z[X] := (X - μ_X)/σ_X は典型的な統計変換である。この変換では、統計汎関数 μ_X = μ[X] = E[X] （期待値）、σ_X = σ[X] = sqrt(Var[X]) が使われ、他にスカラー乗法（単位1への掛け算）や引き算が使われている。X 〜 N(μ, σ²) のとき、Z[X] 〜 N(0, 1) だから、この統計変換は正規分布のあいだの変換ともみなせる。

実際に使う統計変換には、標準化変換以外に次のものがある。

• 標本化変換：スカラー確率変数Xに対して、n-確率標本 X_(n)（これはベクトル確率変数）を対応させる。
• 代入変換： n次元ベクトル確率変数Xに対して、許容統計値関数φに代入して φ(X) を作る。φへのXの代入φ(X)は実際には、X;φ という結合。したがって、代入変換は、後結合変換。
• 引き戻し変換： 代入変換は後結合変換だったが、別な確率変数による前結合変換が引き戻し変換。
• 平均化変換： mean_n:Rⁿ→R を平均値関数として、M_n[X] := mean_n(X_(n)) で定義されるM_n。n-標本化変換とmean_nによる代入変換の組合せ。スカラー（実数値）確率変数Xに対する の意味は、適当なnに対する M_n[X] のこと、単なる mean_n(X) は、n = 1 のとき以外定義できないので不合理。

平均化変換のように、n-標本化変換をしてから代入変換をする場合が多い。標準化変換のように統計汎関数を使う変換もある。

伝統的な用語・記法では、統計値関数、統計量確率変数、統計汎関数、統計変換の区別がされてない。様々な統計量確率変数は、基本確率変数（観測量）から統計変換により構成されたものだ。確率変数と単なる変数を区別せず、関数と関数値を区別しないなら、確率変数＝独立変数、代入統計変換＝統計値関数＝関数＝従属変数、統計量確率変数＝従属変数 となり、何の区別も出来なくなる。また、汎関数は“文脈で変わる定数”として扱う。