もう一度、確率モデル、統計モデル

Measを可測空間の圏とする。実際にはMeasの部分圏で考えるのが普通だが、ここではMeas全体を使う。CをMeasに忘却関手 U:C→Meas を持つ圏とする。

可測空間Aに対して、A上の確率測度の全体をProb(A)とする。Prob(A)は可測空間に出来るので、Probはモナド（ジリィ・モナド）になる。Dist:Meas→C は関手で、Dist(A) は可測空間A上の分布の空間と呼ぶ。分布の空間はCの対象となる。ι:Dist;U⇒Id_Meas は自然変換とする。

Param⊆|C| として、Paramの元をパラメータ対象（またはパラメータ空間）と呼ぶ。Θ∈Param からの射 p:Θ→Y in C をパラメトリック射またはパラメータ表示と呼ぶ。

A∈Measに対して、Dist(A)∈|C| となるが、パラメトリック射 p:Θ→Dist(A) をA上のパラメトリックモデルと呼ぶ。Aとしては、有限離散集合、実数上のボレル可測空間などを使う。Distは、密度関数の空間を使うことが多い。

パラメトリックモデルは、Θでパラメトライズされたモデルの集合だが、さらにパラメトリックモデル全体の集まりとして、Aごとに、パラメトリックモデルの圏を考えるのがよい。ただし、同型なモデルは同一視した同値類を考えるので、Cにおけるサブオブジェクトの類 Sub(Dist(A)) と同様な構成によるモデル全体の類 Model(Dist(A)) = Model_Dist(A) を考える。

Distはユニバースを作る関手だが、Distを固定するなら、Model_Dist(A) = Model(A) と略記できる。Model(A) の背後に圏があると考えて良い。この圏での議論がA上のモデルの話。A上のモデルは、単一のパラメトリック射 p:Θ→Dist(A) で表現される。

p:Θ→Dist(A) と d:Rⁿ→Dist(A) の絡みを S = Dist(A) のなかで考えるのが情報幾何だろう。外の圏Cは、計量微分多様体（バナッハ多様体）の圏とか。