アフィン凸双対構造
情報幾何の入り口で出てくる双対構造が分からなかった。甘利先生が「ルジャンドル変換」と言っているのはどうも間違いみたいで、一般化されたガウス写像だと思う。
もともとのガウス写像は、Jを実数直線の区間として、ユークリッド空間に値を取る曲線 c:J→E があったとき、接ベクトルを一箇所に集めた写像。接ベクトルを正規化すると球面への写像となる。一般化すると、f:U→E があるとき、fの導関数 df:U→W を幾何学的に見たものがガウス写像。Wは、微分係数の空間だから、Uを含むベクトル空間からEへの線形写像の空間。
特にガウス写像とか言わなくても導関数でも同じことだが、幾何学的に見ることと、余域がベクトル空間や球面になることを強調する目的でガウス写像と呼ぶことにする。
さて双対構造だが、(V, A, φ, x) と (W, B, ψ, y) が完全に双対になるような構造。出発点は、片割れである (V, A, φ, x) と、ベクトル空間としての双対 W = V*。
- V -- 有限次元ベクトル空間、Rnと同じ位相が入っている。
- A -- Vの開集合で凸集合。凸開集合と呼ぶことにする。
- φ -- A上で定義された連続微分可能な劣アフィン関数（下に凸な関数）。
- x -- U上で定義されて、Rnに値を持つアフィン写像
アフィン写像は、凸結合（重心結合）を保存する写像。劣アフィン関数は、不等式 f(tx + (1-t)y) ≦ tf(x) + (1 - t)f(y) を満たすR値関数。アフィン凸構造がないと定義できない概念。
素材は以上。
凸開集合で定義されたアフィン写像は、V全体に拡張できて、アフィン枠で表現できる。原点の自由度以外は、アフィン写像とアフィン枠は1：1対応する。したがって、アフィン座標xにはアフィン枠が（原点を決めれば）一意に決まる。逆に、アフィン座標はアフィン枠から来るものに限る。
φは連続微分可能（C1クラス）なので、導関数dφが U→V*（V* = W）が決まる。φの劣アフィン性からdφがU上で連続単射であることが従う。dφの像集合dφ(A)をBと置くと：
- BはWの凸開集合
- BはAと同相
となる。dφはガウス写像（先の注意参照）なので、「ガウス写像が同相を導く」と言ってもよい。
アフィン座標xに対応するベクトル枠（アフィン枠のベクトル基底部分）は、W上の双対ベクトル枠を一意に定める。この双対枠から定まるB上のアフィン座標をyと置く。y:B→Rn。yをxの双対アフィン座標と呼ぶ。
ここまでで、φをベースにして、(V, A, x)と(W, B, y)の双対性が作れた。ルジャンドル変換はここから先で、双対空間を扱うので、ルジャンドル／フェンシェル変換（https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_conjugate）である。ルジャンドル／フェンシェル変換は、マスロフ積分を使った“積分変換”になっていて、トロピカル畳み込みとトロピカル積（トロピカル乗法群）との相互変換を与える。
φのルジャンドル／フェンシェル変換は、B上の劣アフィン関数ψを定義する。これが双対なのは、(W, B, ψ, y) から出発して、二重双対同型による同一視をすると、(V, A, ψ, x)が再現する。
以上の議論では、内積を仮定してないし、ダイバージェンスも定義してない。凸開集合、劣アフィン関数、座標に対しての双対構造。VをWはまったく別な空間であり、対応はあるが重ね合わせてはいない。これをベースに、内積、リーマン計量、ダイバージェンスを入れていけばいいのだろう。
