確率要素

Pを確率測度として、確率要素 dP なんてのが出てきた。なんだこりゃ!?

測度を密度と標準測度からの微分形式として表したものらしい。密度関数fに対して、dP = f(x)dx とか。Pはバックエンド確率空間の測度で、f(x)dx はフロントエンド確率空間の標本空間を走る変数を使った微分形式だから、イコールで結ぶのはおかしい。

例によって、隠れた意図を解釈する必要がある。

• P(a≦X≦b) = ∫(a, b| f(x)dx)

と書けるので、P(a≦X≦b) の微分を dP として、左辺を ∫(a, b|dP) と書けば、

• dP = f(x)dx

となる。というつもりなんだろう。

実際には、PとそのXによる前送り測度 X_*(P) を同じ記号Pで表した上で、a≦X(u)≦b と a≦x≦b を同一視して、バックエンド確率空間上の事象の確率を、フロントエンド標本値の区間上の積分値と考える。その被積分項が確率要素。「要素」は体積要素とかの要素からだろう、おそらく。

結局は、分布＝前送り測度の積分表示の被積分項。バックエンド測度Pを同じ記号でフロントエンドに持ってきて、密度による表示をする、という話だ。