分布の意味
どの分野も最初は用語法が無茶苦茶だと感じるもんだ（例えば型理論）。だから、どこも「こんなもの」なのかも知れないが、入門したばかりの今は「これは酷い！」の連発。
「分布」という言葉がものすごく頻繁に出て来るが、まともな定義が見当たらない。使用事例から推測するしかない（そんなんばっかり！）のだが、たぶん2つの意味。
- 測度と同義
- 像測度と同義
どっちも測度だから、まー「分布＝測度」と言ってもいい。
まず、Rに標準的な測度構造を入れて、その上の密度関数から新しい測度を定義したものを分布と呼ぶ。密度関数を経由しなくてもよいが、密度関数があるときは、密度関数を分布と呼んでしまうこともある。同じ理由で密度の累積（積分）関数も分布と呼ぶことがある -- これらは測度の表現形式に過ぎないのだが…。要するに、R上のなんらかの測度、またはその測度を表現するナニカを、イイカゲンに曖昧に「分布」と呼ぶ。それが実情だろう。
上記の用法では、R（またはRの部分集合）が台集合であり、その他の集合や測度空間は出てこない。しかし、多くの場合は、別な測度空間を暗黙に仮定して「分布」を使っている。暗黙だからたちが悪い！
測度空間 X = (X, ΣX, μ) があって、f:X→R は可測写像とする。Rの標準的なσ代数をΣRとすると、fによる引き戻し（逆像）は、ΣR→ΣX という向きのσ代数の準同型を引き起こす。これをf*と書くことにする。
R上の測度νを、ν(A) := μ(f*(A)) で定義できる。これをfによるμの像測度と呼び、ν = f*(μ) と書く。点の関数が集合の関数を逆向きに引き起こし、さらに逆向き（で結局元に戻る）測度の関数を引き起こす。f, f*（逆向き）, f*（同じ向き） の三つ組で考えるのが重要だと思う。
像測度νは、R上の測度だから、第一の用法で「分布」になる。しかし、背後には、別な測度空間Xと、Xの測度μがあり、νは像測度として得られたものだ。この状況での「分布」νは、μへの手がかりのように扱う。μの代わりにνを扱う、みたいな。潜在的・暗黙にそう考える。
Rベースで話をしたが、Rの代わりに実係数バナッハ空間でも大丈夫だろう。ただし、密度を累積する（積分する）とかは意味を失う。全順序に頼っているから。
「確率分布」というときの分布はたいてい第二の用法で、背後に確率空間があって、Rへの可測写像は確率変数と呼び、その確率変数（＝可測写像）で前送りされた像測度（もとの確率測度の像）を「確率分布」と呼んでいる。確率測度と確率分布を、文脈によらずに完全に同義語として扱う例もある。
確率分布を単に分布と略称するのはまーいいのだが、確率と無関係な状況でも像測度を確率分布と呼んだりする。そもそも、有界測度が確率概念と関係あるかどうかが曖昧、というか決められないことが多い。「確率概念」なんてのが定義可能とも思えない。なにもかにもが曖昧な世界だ。曖昧さを取り扱う用語体系や定義が曖昧なのは洒落にならない。そこで、曖昧さに対処するトレーニングをしろ、ってことか、だとしたら大した教育的配慮だこと。
たまたま全体積が1になる図形のモデルである測度空間があると、定義上それは確率空間だが、確率概念に基づいた測度空間か？というとよく分からない。体積を計る話だから関係ない気もするが、「体積も確率なのだ」とか言われると、反論の方法がない。だって、そこから先は言葉遊びの世界だから。
