単純対象を1つ持つ半単純圏と行列理論

http://ncatlab.org/nlab/show/simple+object と http://ncatlab.org/nlab/show/semisimple+category より引用：

An object X in a category C with a zero object 0 is simple if there are precisely two quotient objects of X: 0 and X. If C is abelian, we may use subobjects in place of quotient objects in the definition, and this is more common; the result is the same.

A semisimple category is a category in which each object is a direct sum of finitely many simple objects, and all such direct sums exist.

圏の単純対象が本質的に（同型を除いて）1個しかない半単純圏を考える。そこでは、すべての対象が唯一の単純対象の直和で書ける。これによって、対象類（の同型類）は自然数と同一視できる。よって、ローヴェル行列理論と圏同値となる。行列理論のスカラーは単純対象UのEnd(U)で与えられる。

[追記]背景となる圏は、双デカルト圏だとする。デカルトかつ余デカルトかつ双デカルト法則（双積の定義可能性）を満たす。双デカルト圏では、半線形代数ができる。適当な対象を1個選ぶと、それを基本とした行列理論もできる。

ただし一般には、「適当な対象を1個選ぶ」標準的な方法はない。それこそテキトーに選ぶしかない。選んだ対象Aから作られる行列理論（ローヴェル理論）は、Aから生成される部分双デカルト圏と圏同値だが、その部分圏が全体圏のなかでどういう位置付けかはワカラナイ。

外の圏が半単純、特に単純対象が1つなら、全体圏が行列理論で完全に記述できる。[追記]