関手とシリンダー圏

「カンシュチュウケン（関手柱圏）」って口頭で言いにくい、シリンダー圏にした。

んで、次のように考えている； 関手 F:C→D を記述するのはどうも難しい、つうか煩雑。そこで、Fのシリンダー圏を定義することによって関手の記述に代える。関手とそのシリンダー圏が（なんらかの意味で）同値であることを示せば、この方針は合理化できる。

ただし、関手から構成した後のシリンダー圏ではなくて、シリンダー圏それ自体の定義を与えなくてはならない。表示のレベルで考えれば、これは難しくない。排他的に与えられた2つの表示G, Hと、|G|で添字付けられた形式的同型射の族 {iX | X |G|} があればよい。形式的同型射の族と言ったが、この条件はもう少しゆるく出来るのかも知れない。ここらへんは、試行錯誤で塩梅を見て決める。

スピヴァックの言うパス同値関係は、等式的制約であり、自由圏におけるパスをどのように同一視するか、別言すれば商集合の作り方を指定している。p = q という等式（パス同値関係）で、左辺が（別にどっちでもいいが）グラフの辺、つまり長さ1のパスのときは、f = q となる。f := q と書いてみると、これはfを定義している式とみなすことができる。

つまり、定義とは等式制約の特殊な形なわけだ。一方、f => q と書いてみると、辺にパスを対応させているので関手ともみなせる。等式的制約（同値関係の生成系）、定義、関手というのは似たようなものなのだ。

関手の代わりにシリンダー圏を使うことは、上記の事実に依拠した発想だ。関手の記述は、シリンダー圏における等式制約または射の定義となる。ただし、あまりにも「同じ同じ」と統合してしまうと、かえって分かりにくくなる。ある程度の違いを残しておいたほうが良いこともある。このへんの匙加減が難しい。