プロ関手と行列とコボルディズム
何度も「気付いた」と書いている気がするが、、、、
プロ関手は行列の拡張概念だと思う。インデックスのセットを増やして、三重四重のインデックスを持つテンソルのようなものを考えても、本質的に次元は増えないとかつて書いた。そうやっても、点は点だし、線は線だ。つまりはグラフ概念から外にでない。その理由は、0×0 = 0、1×1 = 1 という特殊性にある。いくら掛け算しても2が出てこない。
プロ関手の場合は、境界が1次元であるので、(コ)ボルディズムとしては2次元が出てくる。Prof(C, D) := [Cop×D, Set] という定義は、Cの反対圏とDを境界とする完全二部グラフからSetへのグラフ写像とみなせる。値を取る圏Setは圏だが、単一の0対象を加えて1次元分だけ“リフト”しておく。すると、2次元複体から2次元圏への準同型となり、行列の定義と整合する。
境界が圏であることから、プロ関手は本質的に次元が上がっている（2次元）。完全二部2次元複体から、より一般的な境界付き2次元複体にすれば、コボルディズム圏が作れる。値（係数）の圏も一般的な2次元の圏でよい。これで、2次元の行列計算がなんであるかがやっと見えてくるのではないか。
ところで、プロ関手をdistributorとも言うが、分配法則とは関係なくて、function : functor = distribution : distributor なんだそうな。
