加群とオートマトン

だいぶ絞れてきた。

X, Yはモノイド、Mod-X, Mod-Y はそれぞれ右加群の圏。Φ:Mod-X→Mod-Y が任意の関手、ただし基礎可換モノイドは保存する。この状況で、示したいことは2つ。

(その1) P := Φ(X) と置く。ただし、X∈|Mod-X| と書いたときは、X-右加群としてのX。P∈|Mod-Y| だからPはY-加群。Φを経由してX作用をPまで前送りすると、PはX-左加群にできる。これにより、Pは(X, Y)-双加群。テンソル積を × で書くとして、X×P in Mod-Y となる。示すべきは、Y-右加群としての同型、X×P ＝ P in Mod-Y 。Mod-Y のなかで具体的に同型を構成する。

(その2) P, Q∈(X-Mod-Y) とする。(-)×P と (-)×Q は Mod-X → Mod-Y の関手となる。αが α::(-)×P ⇒ (-)×Q : Mod-X→Mod-Y という自然変換だとして、α_A:A×P→A×Q 。このα_Aは、双加群の準同型f:P→Q を用いて、α_A := A×f と書ける。

(その1)のほうがなんか違うような気もする。勘違いがあるかもしれない。もとの形は、Aが自由加群のとき、Φ(A) = A×P と書ける、という主張。A = X とすると、Φ(X) = X×P だから、P = X×P かと思うのだが、、、？