どうやって双オートマトンを作るのか

X, Yなどがモノイドだとして、右加群と左加群を区別して、X-Mod, Mod-X と書く。双加群（両側加群）は、X-Mod-Y と書く。X自身をX上の加群とみなしたものを同じ記号Xで表す。X∈|X-Mod|、X∈|Mod-X| となる。

Φ: Mod-X→Mod-Y が関手だとして、Φ(X)∈|Mod-Y| は当然にY加群だが、これにX加群の構造も入れる。具体的な集合圏／関係圏で考える（一般論はよくわからない）。XのX加群構造は、X→Mod-X(X, X) として与えることができる。x∈X に対する Mod-X(X, X) の要素（Xの自己変換）を x~ と書くことにする。x~:X→X in Mod-X。

Φ: Mod-X→Mod-Y だったので、Φ(x~):Φ(X)→Φ(X) in Mod-Y。s∈Φ(X) に対して、x∈X の作用 x*s := Φ(x~)(s) として定義する。(Φ(X), X, *) が加群となることを確認する。また、γ(x, s, y) := Φ(x~)(s・y) として双加群構造を定義する。