Cob-Para自由構成

「Webのモデルとエルゴット圏」とかとも関係するのだが、もっと一般的な話。たいへんに曖昧だが、それでもたぶん使える、役に立つ。

まず、コボルディズム圏とは何か？というとよく分からない。多様体とか（幾何的）複体の概念を使って(n, n+1)-コボルディズム圏を定義するのはまーできるでしょう。角付きになると難しいし、二重圏の構造を持つ。次元が混じってしまった普遍的なコボルディズム圏があって、それは高次圏のなかでも特別なものなんだろうと思うが、ワカランわ。

ワカランのだけど、次元が低い場合、0, 1, 2くらいなら見当はつく。特に、(0, 1)-コボルディズム圏は時間の圏だと捉える。普遍的で大きなコボルディズム圏とかコボルディズム圏の総体は分からないが、個々の小さな特定のコボルディズム圏なら分かる。

次にパラ圏（paracategory, http://ncatlab.org/nlab/show/paracategory）、これはプレ圏（プリ圏、前圏、precategory）と同じ概念だが、パラのほうが語感がいいのでパラ圏にする。単なる有向グラフもパラ圏だし、普通の圏もパラ圏になる。擬パラ圏とかも面白いと思うが、まー、とりあえずパラ圏で。

Bamを竹グラフ（bamboo）の全体に端点接合を入れたコボルディズム圏とする。Gはグラフとする。BamからGへのグラフ準同型の全体に、Bamのコボルディズム構造を使って結合と恒等（一点グラフからの準同型）を定義して圏を作れる。これはGから作った自由圏と同じもの。

今の自由構成を一般化したものがCob-Para自由構成。短くCP自由構成ともいう。Cを（よくワカランが）なんらかのコボルディズム圏、Pをパラ圏とする。CからPへのグラフ射の全体に圏構造やその他の構造（直和モノイド積とか）を入れる。これで自由ナントカ圏ができる。さらに、Pが持っていた部分的な構造を使って同値関係を入れる。同値関係で割り算して出来たモノがCP自由構成。自由とは言いながら割り算をしていることに注意。

以上の直感的かつイイカゲンなことを、厳密に定義するのはなかなかに大変な作業だと思う。しかし、個々の具体例を作ることはできなくも無い。Cが竹グラフの場合、竹グラフの直和（数珠暖簾と呼んでいた）の場合、梯子形の場合、とかだ。また、Cに単体や方体として2セルを入れて、1次元高い状況で考えることもできる。

CP自由構成で出来上がった圏の射は何かというと、軌道、世界線、世界膜とでも呼ぶべきもので、ある種の運動学的実体となる。Pが、とあるパラ圏のレルムに属するとき、適当なCに対するCP自由構成が再び同じレルムに属することは、基本定理として扱われることがある。ステファネスクのネットワーク代数に関する基本定理はこの形をしている。この形の主張を、基本閉性（fundamental closure property）と呼んでいいだろう。

基本閉性があると、軌道の次元を上げていくことができるし、ホモトピーを考える途もある。もっとも、次元が0, 1だとそれ以上に次元が上がらないが、それはそれで次元的に閉じた世界になっていてケッコウなことだと思う。