ABCシステム

1. ABC = Action of Bimonoid on Comonoid
2. ABC = Algebra for Buffers and Caches

B = (B, ∇, i, Δ, !) が双モノイド、C = (C, Δ, !) が余モノイドとする。(B, C, a:B×C→C) がABCシステムとは：

1. Bをモノイドとみなして、aはCへのBモノイド作用＝加群＝表現となっている。
2. 作用aは、余モノイドの余乗法、余単位と強調している（双代数律との類似が成立する）。

Bのモノイド構造を忘れて余モノイドとみなしたものをB^Δとして、C := B^Δ, a := (モノイド積) と置くと、(B, B^Δ, ∇:B×B^Δ→B^Δ) はABC構造になる。

X = (B, C, a) がABCシステムのとき、X上の加群 (S, o, m) は次のように定義する。

1. o : S→S×C がC上の余加群（oは観測余乗法）
2. m : B×S→S がモノイドとみなしたB上の加群（mはモノイド作用の乗法）
3. o, m に関して双代数律との類似が成立する。

適当なベース圏の上で、ABCシステムの全体と準同型は圏となる。ABCシステムXを固定しての加群の圏X-Modも定義できる。左右の概念を明確にして双加群を定義すると何かわかるかも。