アルファベット、文、言語

ラベルの集合がアルファベットなんじゃない。ラベル付きグラフそのものが、圏の生成系としてアルファベットなのだ。と、たったそれだけのことだが、これでモノの見方は変わった。

「アルファベット→圏の生成系→圏→圏多元環」という一本道により、アルファベットと圏多元環が同じものに見えてきた。圏多元環が境界としてのブール半環を持ったり、クリーネスターを持ったりもする（してもいい）。そして分解を通じて余代数にもなっているようだ（非可換性のために、双代数にはなってないかもしれない）。

次のような対応がある。

形式言語理論	代数
アルファベット	圏多元環の生成系
文	圏の射
文の連接	射の結合
言語	圏多元環の元
言語の連接	圏多元環の乗法（畳み込み）
言語の微分(?)	圏多元環の余乗法(?)

適当な基礎代数系上の圏多元環の表現は加群と同じだから、加群の圏は表現の圏になる。Setへの表現が決定性全域オートマトン、Partialへの表現が決定性オートマトン、Relへの表現が非決定性オートマトン。係数を通常の体にすれば、通常の線形表現も考えることができる。F₂での議論はある程度は意味を持つかも知れない。

両側加群（ニ方加群 bimodule）や三方加群（trimodule）を考えると、メッセージング入出力を持つオートマトンとなる。オートマトンの圏は、多元環の上の加群の圏だったわけだ。加群の生成系を与えるのが状態空間。生成系が標準的に付いている加群には、a |→ a(×)a で標準的な余積（分解ではなくてコピー）が入る。これである程度は代数的な構造に見通しがついてきた（かな？）。