プログラムのあいだの通信とは何か？

またマンダラ圏Mandに関係するのだが、マンダラ圏では、直列結合と並列結合がある。並列結合にはテンソル積とスター積がある。並列結合＝(テンソル積+スター積) だけでコンパクト閉圏となる。

これらの演算のなかで、テンソル積は直列結合にも並列結合にも絡んでいる。対局的な性質を持つ2つの演算は、「直列結合 v.s. スター積」だろう。どちらも2つのプログラムを通信させて、全体として複合プログラムを作る演算だ。が、通信の解釈が違う。時間方向での通信（逐次）、空間方向での通信（同時並行）の違い。

• 時間方向の通信＝処理の引継ぎ＝直列結合：「繋ぎ目は空間の代数＝ブール可換環」
• 空間方向の通信＝同期協調動作＝並列メッセージング結合：「繋ぎ目は時間の代数＝「アクション非可換多元環」

面白くもあり、混乱の原因ともなるのが、これらの通信方式＝「順次結合と並列メッセージング結合」は、互いにエミュレーション可能であること。2つのサブシステム（コンポネント）をブラックボックに入れて、振る舞いから時間成分を抜いてしまう（例えばS行列を取る）と、制御とデータを一気に受け渡す順次結合と、少しずつデータを渡しながら協調動作する並列メッセージング結合の差はなくなる。

直接結合の境界点に、時間的な歴史をエンコードできる。境界点はデータで境界は受け渡しデータ型だと思える。一方で、メッセージの時系列は、同時走行システムの境界要素を定義する。メッセージ時系列は時間を時間として扱っている。