双対、随伴、転置、左右

右と左 n-たび セリンガーの左右 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編に書いたようなことを再び。

バカキリ本以外に、絵算が載っている本としてK-L本（カーラー／リュウバシェンコ）、それとShahn Majidの「量子群プライマー」ってのを持っている。

K-L本の219ページとQGプライマーの70ページの定義を比べてみる。この2冊では、右とか左とかは使わない。単に dual という言葉を使っているだけ。モノイド積は単にカンマで並べるだけで書く、そのほうが絵算に近い。

K-L本：

• ev : X, X^∨ → 1
• ev' : ^∨X, X → 1
• coev : 1 → X^∨, X
• coev' : 1 → X, ^∨X

QGプライマー：

• ev : V^*, V → 1
• coev : 1 → V, V^*

K-L本の射の双対は左右の転置、ただし左右という言葉は使わないで記号だけ：

• f^t : Y^∨ → X^∨
• ^tf : ^∨Y → ^∨X

QGプライマーでは、随伴（adjoint）と呼んでる：

• f^* : W^* → V^*

後で、白旗さん、バカキリ、セリンガーと一緒にして表にしようかな。

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表にしてみた。

• "A sequent calculus for compact closed categories" -- http://www.fbc.keio.ac.jp/~sirahata/Research/cmll.pdf
• "A survey of graphical languages for monoidal categories" -- http://www.mscs.dal.ca/~selinger/papers/graphical.pdf

-	双対対象	呼び名	evの域	双対射	呼び名
白旗	A*	Aの左随伴	A*,A	-	-
バカキリ	A*	Aの右双対	A*,A	f*	fの双対
セリンガー	A*	Aの右双対	A,A*	f*	fの随伴メイト
K-L	A∨	なし	A,A∨	ft	なし
プライマー	A*	双対	A*,A	f*	随伴

K-Lでは、^∨A と ^tf も導入する。言葉としては、左右も双対も随伴もあえて使わないという方式。