強度対、両側強度、可換性

bistrengthという言葉があるのは知っているが意味は知らない。bistrengthと同じかもしんない概念を考えたが、2-side strengthで両側強度と呼ぶことにする。以下に説明。

C = (C, ×, 1) をモノイド圏とする。対象Aに対して、2つの関手を定義する。

• A_・ := λx.(A×x)
• _・A := λx.(x×A)

モノイド積に関する性質から、これらの関手の性質が導ける。

• B×(A×X) = (B×A)×X -- A_・;B_・ = (B×A)_・
• (X×A)×B = X×(A×B) -- _・A;_・B = (A×B)_・
• (A×X)×B = A×(X×B) -- A_・;_・B = _・B;A_・

Tがモナドだとして、τは強度で τ[A] :A×T(X)→T(A×X)、τ' は τ'[A] :T(X)×B→T(X×B) の形で余強度と呼ぶことにする。右とか左とか言っても分からなくなるので、τとτ'の組を強度対と呼ぶ。

強度対があると、モッジ・ペアリングは簡単に定義できる。

   T(A)×T(B)

  ------------τ

   T(T(A)×B)

  ------------T(τ')

   T(T(A×B))

  ------------μ

   T(A×B)


   T(A)×T(B)

  ------------τ'

   T(A×T(B))

  ------------T(τ)

   T(T(A×B))

  ------------μ

   T(A×B)

この2つの定義が一致するとき、強度対は可換と呼べばよいだろう。

A×T(X)×B→T(A×X×B) で然るべき公理を満たすものを両側強度と呼ぶことにする。両側強度から強度対は簡単に構成できる。強度対からの両側強度の作り方は2種類ある。

   (T;A・);・B

  ------------------------------------

   (A・;T);・B

  ------------------------------------

   A・;(T;・B)

  ------------------------------------

   A・;(・B;T)


   (T;・B);A・

  ------------------------------------

   (・B;T);A・

  ------------------------------------

   ・B;(T;A・)

  ------------------------------------

   ・B;(A・;T)

この2つが一致するときも可換と呼びたい。２つの定義は同値だろうか？

ベースとなるモノイド圏が対称じゃなくても、強度対が付いたモナドに関して可換性が定義できて可換モナド概念も定義できる。どの程度意味があるかは分からない。