モッジのペアリング

T = (T, μ, η) が対称モノイド圏 C = (C, ×, 1) 上のモナドで、σはCの対称だとする。さらに、τ = (τ[A] | A∈|C|) をT上のテンソル強度だとする。(T, τ) = (T, μ, η, τ) は強モナド（むしろ「強度付きモナド」がいいと思う）となる。

以上の状況で、モッジのペアリング π[A, B] : T(A)×T(B)→T(A×B) を次のように定義する。

   T(A)×T(B)

  -----------σ

   T(B)×T(A)

  -----------τ

   T(T(B)×A)

  -----------T(σ)

   T(A×T(B))

  -----------T(τ)

   T(T(A×B))

  -----------μ

   T(A×B)

f:X→T(A), g:Y→T(B) があるとき f#g :X×Y→T(A×B) を (f×g);π により定義できる。演算 (- # -) はクライスリ圏のペアリングとなる。このペアリングがモノイド積になるかどうかは計算しないと分からない。今度元気なときに計算しよう。

具体的な強度付きモナドでモッジのペアリングが何になるかを調べると面白い。