左右公平構造（even-handed structure）
バートレット（Bruce Bartlett）の左右公平構造（even-handed structure）は面白いなー。
バートレットは、Fのもろ手双対（ambidual）の集合AmbiDual(F)の上にフリップ写像Ψを定義して、ΨがΨ2 = Idであることを仮定している。もろ手双対を出さなくても、次のような定式化でもいい気がする。
- Fの右双対、左双対の集合をRDual(F), LDual(F)とする。
- d∈RDualのとき、d = (Gd, ηd, εd) と書く。
- Ψ:Rdual(F)→LDual(F) で、Ψ(d) = d' のとき、Gd = Gd' であるΨを考える。Gのことを双対dの台と呼ぶと、Ψは台を動かない。
- Ψが、双対の台を動かさない写像として、さらにΨは可逆で、逆Ψ-1:LDual(F)→RDual(F)を持つ。
以上の状況で、Ψを左右公平フリップ、あるいはバートレット・フリップと呼んでもいいだろう。問題は、フリップの構成の仕方。ブレイド（特殊ケースとしては対称）とツイストで組み立てるのが具体的（工作的）で楽しい。
ついでに用語も整理しておくと、
- 任意のFの対して Rdula(F)≠空 のとき、圏は右自立
- 任意のFの対して LDula(F)≠空 のとき、圏は左自立
- 右自立かつ左自立なら両側自立
両側自立だけでは面白くないし、使いにくい。軸反転構造が入ると軸的圏（pivotal category）。2-射の双対が一意的に決まる；つまり、射の右双対と左双対の区別がなくなる。
