2-圏における1-セルの双対性の集合

また、バートレット（Bruce Bartlett）の話だが： 彼は、Fの右双対F^*を圏（2-圏）全体で割り当てる定式化をさかんに（しかしやんわりと）批判している。僕は、割当てがあったほうが使いやすいと信じていたので、意外な感じもするが、「双対性の集合」を考える立場では確かに一意割当てを固定するのはふさわしくない。

FとGに対して、GをFの右双対にする双対性の全体を Adj(F -| G) とか Dual(A -| B) とバートレットは書く。これは、単なる命題「GはFの右双対」ではなくて、その命題を成立させる根拠の集合。つまり、

• Adj(F -| G) ＝ 空 ⇔ GはFの右双対となり得ない
• Adj(F -| G) ≠ 空 ⇔ GはFの右双対となり得る

左右公平構造（even-handed構造）は、F, Gごとに Adj(F -| G) → Adj(G -| F) という写像の族により定義される。逆向きペア(F, G):A→B を射とするような圏を考えると、Adjは射の上にファイバーとして集合をくっつけたような構造となる。このファイバーもどき構造を明示的に考察の対象とした点がバートレットの新しいところだと思う。