1次元ベクトル空間の圏

適当な係数（スカラー）体上の1次元ベクトル空間だけを集めた圏Vec1を考える。そんなものつまんねー、と思うだろうが、いいやっ、十分に面白い。

テンソル積に関してモノイド圏になる。モノイド単位はスカラー体だが、実はどの対象を選んでも単位になる。単位しかないとも言えるが、選択された（識別された）単位が1つだけある。「みんな平等」という点では、加算無限集合の圏（デカルト圏）と似た感じもする。（直積の単位が終対象とは限らない - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)も参照）

記号の集合Σをとって、Σの記号1つから自由生成された空間を考える。これは単に1次元ベクトル空間というだけでなくて、標準基底＝1個の非零元が入る。a∈Σ に対して、自由ベクトル空間 K{a} を対応させると、Σ→Vect1 という写像が出来る。この写像の像から部分圏が作れる。

この部分圏内でテンソル計算ができるわけだ。双対空間も1次元なので、Vect1内の部分圏（とみなせる）記号的なコンパクト閉圏ができる。このコンパクト閉圏内での計算と法則が1次元量のモデルとなる。昔、小島順さんが書いていた線型代数（「形」じゃなくて「型」だ）の本が、詳しく扱っていたと思う。が、小島本も紛失したな、無念。