序数と基数の問題

本編に書こうと予定してるが、どうなるか？ とりあえメモしておく。

Ordは順序集合と単調写像（order preserving maps）の圏。離散順序を付ける関手 D:Set→Ordと忘却関手U:Ord→Setは随伴。Dは埋め込みと考えられるから、その像＝離散順序集合の部分圏をDOrd⊆Ordとする。それとは別に、全順序＝線形順序の部分圏をTOrd⊆Ordとする。

Ord上に2種の足し算#, ++ を考える。どちらも台集合は直和になる。#は直和順序、X++Y は、Yの元はすべてXの元より大きいとして入れた順序。#は対称モノイド積、++は非対称（対称とはならない）モノイド積。ただし、有限集合に限れば++も対称にできる。

X, Y∈|DOrd|に X++Y すると、もはやDOrdからはみ出してしまい、ハッセ図が完全二部グラフである順序ができる。一方、X, Y∈|TOrd|に X#Y すると、全順序であはなくなるから、やはりはみ出す。

(DOrd, #, 0), (TOrd, ++, 0) はそれぞれモノイド圏になるが、DOrdに++は入らず、TOrdに#は入らない。DOrd∩TOrd = {0, 1}なので、この2つの圏はほとんど無関係。