半環の融合和で悪くなる

半環RにNが作用しているとき、融合和（amalgamated sum）が定義できる。半直和という感じの構成だ。

(R, +, ・, z, u)が半環（zは零、uは単位）とする。x∈Rに対して、

• 0△x = x
• n△x = u + .. + u + x（uがn個）
• 0*x = z
• n*x = x + ... + x（xがn個）

として作用△:N×R→R、 *:N×R→R を定義する。要するに、NをRに自然に入れて（埋め込みとは限らないが）、自然に演算を拡張したもの。

直和集合 N + R には、場合分けにより足し算と掛け算が入り再び半環となる。これを融合和と呼ぶことにする。融合和はたいして有用とは言えないが、いくつかの注目すべき点がある。

1. Rの零と単位は、零と単位ではなくなる。
2. Rが環であっても、融合和は環でない。

気分的な表現をすると、融合和により、性質が悪くなるのだ。融合和により悪くなった半環から、Nを切り落として、もとのRだけを抽出すれば、よい性質の代数系（環とか）を再現することができる。データ構造のバーンサイド分配代数から、有限集合を取り除くのは、この抽出過程にあたる。