とりあえず、代数的整数の出発点

1. 環の単数、単数群
2. 単数による同伴関係
3. 既約元 （↓）
4. 素元 （↓）

整域の範囲で考えるとして、aが既約だとは、次の条件を満たすこと。

1. aは0でも単元でもない（0や単元に既約とかいってもしょうがない）
2. a = xy と因数に分解できたとき、xかyのどちらかは単数

「事実上、もうそれ以上分解できない」「分解できたとして、それは自明な分解に限る」ということ。

素元は少し定義が違って、pが素元だとは、任意のa, bに対して

1. pがabの約数なら、pはaの約数かbの約数になっている。

「pが素元⇒pは既約元」は成立。逆が成立しない。その反例はZ[√-5]内の1+√-5。

イデアルによる定式化は：

1. aは単元⇔(a) = (1) = R イデアル的には1
2. aとbが同伴⇔(a) = (b) イデアル的に区別できない
3. aは既約元⇔「(a)=(x)(y) ならば、(a) = (x) または (a) = (y)」イデアル的に分解できない

単項イデアル整域（PID）では、「既約元は素元」。

Rが一意分解整域（UFD）とは：

1. 任意の元は既約元の積で書ける。
2. 分解は順序と同伴を除いて一意的

一意分解整域でも「既約元は素元」。

1. 数体＝代数体＝代数的数の体
2. 代数的整数：整係数モニック多項式の根
3. 数体Kのなかで代数的整数になっているもの全体が、Kの整数環
4. Qの整数環はZ

aが平方数でない有理数としてQ(√a)が2次体。2次体は、適当な整数mでQ(√m)と書ける。外の体が2次体である（代数的）整数が2次体の整数。ガウス整数環やZ[√2]などは2次体の整数環。