カン拡張と指数と随伴

カン拡張って、僕よくわからんのだが、ともかく、トレーニング(?)に書いた次の同型を見ると、ある種の随伴の形ではある。

• Nat(Lan_XF, M) ≒ Nat(F, MX)

 A -(X)→C

 ｜    ／

 F   ／M

 ↓／

 B

記法として、Lan_XFのXが添字になるのがどうもよろしくないが、Lan_XFは「Xに沿ったFの拡張」、Xによる前送りになっているので、X_*(F)とか書いてもよいだろう。MX = X;M はXを前結合（precompose）しているので、Xによる引き戻しだから、X;M = X^*(M) だな。つまり：

• Nat(X_*(F), M) ≒ Nat(F, X^*(M))

両辺にNatが現れているが、これは指数圏のホムセットだから、明白に書けば：

• B^C(X_*(F), M) ≒ B^A(F, X^*(M))

つまり、

• X_*:B^A→B^C
• X^*:B^C→B^A

X_* -| X^*、ここで、X^*のほうがはるかにやさしいし、常に存在する。とうわけで、左カン拡張は、関手Xの前結合による「関手の引き戻し関手」の左随伴として特徴付けられる。

2つの関手圏（圏の指数圏）の間の関手の随伴性だから、ちょっと分かりにくいが、もとの関手は前結合だから、まー、さほどのことではないか。