圏の組み合わせ幾何

いくつかのヒントを書く。

高次セルを忘れる関手

Cが高次圏だとして、|C|_kはk次までのセルを考えた圏だとする。特に |C|₀ = |C| = Obj(C) となる。|C|は忘却関手となり、次に述べるK(A)と随伴になる。このような随伴関係が一般化できないか。

完全有向グラフ

Aを集合だとして、K(A)はAから作られた完全有向グラフとする。AとK(A)上に自明な圏構造を定義できる。この圏もまたK(A)で表す。A|→K(A) は、C|→|C|と随伴になる。

圏の懸垂

空間Xに対して 柱体 X×[0, 1]を作り、X×{0}とX×{1}を1点に縮めた図形ΣXが懸垂であり、さらに懸垂の2つの端点を同一視したものが約懸垂。

圏の懸垂は、実際には約懸垂。新しい0セルが1個だけ導入され、0セルはループとなり、1セルはループを結ぶ2セルとなる。この方法で、モノイド圏を2圏と解釈できる。一般の高次圏Cの次元を1つ上げる懸垂写像を定義せよ。

高次元化

n-圏があるとき、自明なn+1セルを加えて(n+1)-圏とみなせる。あるいは、AからK(A)を作るのと同じようにしても次元を上げることができそうだ。懸垂もまた次元を上げる。

次元のシフト

Cのi次元パートをC_iとする。何らかの方法で、すべての整数にC_iが定義できるなら、C[k]_i = C_{k + i} で新しい圏を構成できる。

圏環と畳み込み

モノイド環（モノイド代数）と畳み込み積を真似して圏環と畳み込みが定義できる。fとgが1セル上に定義された関数のとき：

• h(γ) = Σ(γ=α;β : f(α)g(β))

として定義されるhが、fとgの畳み込み。γは1セルで、αとβはγの分解になっている。

鎖複体

適当な係数で射の線形結合を作ると鎖を定義できる。バタニンのグローブなら、簡単に境界を定義できそうだ。