ジョーンズ多項式、なんか勘違いしているようだ

捻る＜ひねる＞と捩る＜ねじる＞はどう違うんだろう？ 「捻る」で＜ねじる＞とも読むし、撚る＜ひねる＞もあるな。

それはそうとして、2点（紐2本）ブレイド群（むしろブレイド圏全体の話だが）をテンパリー／リーブ代数に埋め込むとして、ループの乗数τと、係数A、Bを使ったカウフマン・ブラケットKを考える。（ほんとのブラケットを使うとHTML文字参照が必要だから使わない。）

• `／ ：正交差
• ＼' ：負交差
• ｜｜ ： ブレイドの単位元
• ⊃ ：半分のマル
• H : ∪と∩を縦にならべたもの

とかの記法を使うとして、基本関係として

• K(`／) = AK(｜｜) + BK(H)
• K(G ○) = τK(G) （Gは任意）

を取る。

2点ブレイドの逆元の関係（ライデマイスター移動II）から AB = 1 と A² + A^-2 = -τ が出る。これから、A⁴ + τA² + 1 = 0 が出て、Aとτを制約する。τをAで書き下してしまえば特に問題はない。τから先に固定すると、Aの値が定数になることがある。A = 1, A = -1, A = i とか。こういう定数だと忠実表現は作れない。

さて、こっからがなんか勘違いしているようなんだが、K('／⊃) = K(｜）つまり、ヤンキング公式を示そうとすると、Aが1の3乗根になってしまう。普通ωって書くやつ。計算を間違ったかもしれないが、それより、カウフマンブラケットではヤンキングが出ない可能性が高い。いずれにしても、どっかで変なことをしている。

考え直そう。