半線形代数

主にNを係数半環とする半線形代数を考えておくといいと思った。基本概念は：

1. 係数半環／半体
2. 半加群／半ベクトル空間
3. 部分半加群
4. 半線形独立
5. 半イデアル
6. 半アフィン空間／半アフィン集合
7. 半アフィン不動点方程式

半体の例はあまり多くない（Z+{∞}に、min-plus代数とか）ので、ベクトル空間にこだわってもしょうがない。半線形代数＝半加群の理論。

Mが半加群、A⊆Mが半線形独立とは、

• どのy∈Aも、A＼{y}の半線形結合では書けない。

Rが半環のとき、I⊆Rが半イデアルとは、

1. 0∈I
2. x, y∈Iならば、x+y∈I

半イデアルは、R内の部分半加群。任意のA⊆Rは半イデアルを生成する。

Mが半加群で、Nが部分半加群のとき、b∈Mにより、b+N と書ける集合は半アフィン集合と呼ぶ。

N, N^kの部分集合をcup-plus代数で半環とみなすときの半イデアルの概念、kN = N + ... + N の部分集合に、Pow(N)をk倍にコピーして作用させるスカラー乗法により、Pow(kN)はPow(N)半加群とみなせる。この半加群の部分半加群や半アフィン集合の概念は？