離散ファインマン和

僕は、マーク・ウィリアム・ホプキンスの観察と示唆に触発されて、形式言語理論と（物理の）場の理論の類似をマジメに定式化しようと思ってきたわけで、スカラーとしてはクリーネ代数（言語や関係のベキ等半環）が念頭にあった。が、トロピカル半環もクリーネ代数と同様に興味深い。

となると、ファインマン型（あるいはファインマン風）の総和公式をクリーネ／ファインマンの公式とか呼ぶのはどうか？とも思える。経路積分が有限和になってしまうケースを一般に、離散ファインマン和とでも呼ぼうかと思う。

ある程度の一般的な定式化を以下に：

まずは記号の準備； 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100 のような和を Σ(n=1, n=100; 1/n)のように書く。添字を使わなくて済むので便利。Π(n=1, n=100; 1 + n/100) も和が積に変わるだけで同様。

グラフ（空間）Gの2頂点をP, Qとする。PからQに至る長さnの経路の全体をΩ_=n(P, Q)と書くことにする。長さn以下の経路の全体はΩ_≦n(P, Q)、任意の長さの経路全体ならΩ_＜∞(P, Q)とする。Ω_=n(P, Q) を単に Ω_n(P, Q)、Ω_＜∞(P, Q) は Ω(P, Q) と略記してもよい。

AをG上の力学系（の生成作用素）とする。Aは辺に対して、なにか乗法的な量（モノイドの元）を対応させているとする。α∈Ω_n(P, Q)が通過する頂点を、P=α₀, α₁, ..., α_n=Q とする。αが渡っていく辺は、α_0,1, α_1,2, ..., α_n-1,n のように書こう。

α∈Ω_n(P, Q)に対して、Π(α; A)とは、Π(i=0, i=n-1; A(α_i,i+1))のことだとする。要するに、n本の辺に対する値を全部掛け算すること。掛け算が非可換だと順序に注意が必要。

Ω_●(P, Q)は、黒丸ところに =n、≦n、＜∞ のどれかが入ることを意味する。

さて、離散ファインマン和だが、スカラーは掛け算だけでなく足し算もできると仮定して、α∈Ω_●(P, Q)に対するΠ(α; A) を、すべてのαに渡って足し上げた値、つまり：

• Σ(α∈Ω_●(P, Q); Π(α; A))

のことである。

離散ファインマン公式（群）は、離散ファインマン和が、他のなにかの量と等しいことを主張する等式。例えば、

• Σ(α∈Ω_n(P, Q); Π(α; A)) = (Aⁿ)[P, Q]

右辺は、行列としてのAのn乗の成分。