TQFT関手は必要なのか

DFDは、TQFTの枠組みを採用する。のだが、TQFTもどうも変に思えるところがある。

TQFT関手というのは、コボルディズムのモノイド圏からヒルベルト空間のモノイド圏（積はテンソル積）への関手。離散有限化すると、ベクトルと行列だからわかりやすい。が、境界なしの多様体の値は単なるスカラーになる。これだと情報が足りない気がする。

実際にはTQFT関手は不要で、力学の圏だけで間に合うのじゃないか。つまり、空間Xとその上の力学Aの組を考えて、indexed圏のようなものを考える。(X, A)から(Y, B)への射は、f:X→Yなる写像と、A→f^*(B) というX上の力学のあいだの写像の組となる。

となると、X上の力学の圏Dyn(X)が問題だ。X上の接ベクトルが力学だと考えると簡単だが、そうすると、引き戻しf^*(B) がうまく定義できない。XとXの無限小近傍を集めたようなもの（バンドルで表現できそう）を考えて、その無限小近傍上のベクトル場で、Xの近くで一致するものを同一視したもの（芽ってやつかな？）を使えばなんとかなりそうだ。

力学の変換とは、各点でベクトル空間の変換が与えられて、力学を定義するベクトル場をベクトル場に移すようなものだろう。変換として包含だけを考えても間に合うかもしれない。というか、包含以外はむずかしくて扱えないかも。

以上の話を連続的空間でやれば、技術的な細部がやたらにむずかしくなりそうだが、離散空間なら扱えなくもないだろう。で、DFDの課題となる。