圏の多項式的拡張と記号回路の圏

圏Cと指標Σに対して、ΣからC係数で自由生成した圏C[Σ]がとても使えそうな気がしている。が、現状、おぼろげな定義以外に何もわからない。

まず、Σ=(Σ₀, Σ₁)という集合の組を考える。記号の濫用で、Σ₁を単にΣと書き、Σ₀のほうは|Σ|と書くことにする。Σ、|Σ|が空であってもかまわない。Cはモノイド圏とする。実はCが単なる圏でもいいのだが、モノイド圏のほうが面白い。

さて、部分写像a:|Σ|→|C|があり、aを使って|Σ|^*と|C|を貼り合わせたものを|Σ|^*∪_a|C|とする。さらに、s, t:Σ→(|Σ|^*∪_a|C|)という写像があるとする。(-)^*はクリーネ・スターで、s, tはsource, targetのつもり（dom, codでもいい）。今まで出てきたΣ, |Σ|, a, s, tの全体もまとめて再びΣと呼んでしまう（記号の濫用）。そして、そのようなΣ（諸々含む）をC上のモノイド指標と呼ぶことにする。

C上のモノイド指標の例として、Σ=Mor(C)、|Σ|=空として、aは自明な写像、s(f):=dom(f), t(f):=cod(f)として定義できる指標がある。また、Σ=|Σ|=空 としても指標が定義できる。

ΣとΓがC上のモノイド指標のとき、Σ→Γ、|Σ|→|Γ|という写像の組が、a, s, tの構造を保つとき指標の射とする。

a, s, tを使って、頂点集合|Σ|∪_a|C|、辺集合Σ+Cのグラフができる。これを基に生成した圏をC[Σ]とする。C[Σ]は、C-モノイド指標の圏の上のインデックス圏でもあり、グラフの圏の上のモナドにもなる。さらに、Cを動かすと、C[Σ]→D[Γ]のような射を考えることもできる。

C[Σ]の全体は非常に複雑になるが、記号回路の圏が実例となる。また、次の意味で多項式に似ている。

多項式	指標による拡張
変数集合X	指標Σ
係数体／環R	圏C
多項式環R[X]	圏C[Σ]
代入置換y:=f(x)	置換 Kleisli射

さらにイデアルによる商構成と圏論的合同を使った商にも類似がある。

以上の状況をもう少し調べたい。