ケリーの可換性定理

λ_I = ρ_Iから、ケリーによる「End(I)が可換モノイド」という素敵な結果が導ける。

λもρも自然変換なので自然性から、f = λ_A^-1;(I×f);λ_B, g = ρ_A^-1;(g×I);ρ_Bが出る。

ここでA = B = I と置くと、λ_I = ρ_I なので、λ_I = ρ_I = s として、

• f = s^-1;(I×f);s
• g = s^-1;(g×I);s

• f;g = [s^-1;(I×f);s];[s^-1;(g×I);s] = s^-1;(I×f);(g×I);s
• g;f = [s^-1;(g×I);s];[s^-1;(I×f);s] = s^-1;(g×I);(I×f);s

ところが、(I×f);(g×I) = (I;g)×(f;I) = g×f、(g×I);(I×f) = (g;I)×(I;f) = g×f なので、f;g = g;f = s^-1;(g×f);s 。

この事実は、アブラムスキー／クックの抽象スカラー概念の基礎。
k-テンソル圏で、End(X) = k であるXを単純と呼ぶことにも注意。