双積、指数、テンソル積

なんか、双積と指数とテンソル積の関係が混乱していた。アーベル圏はself-enrichされていると思いこんでいたが、勘違い。モノイド積が双積である状態で、「指数対象とev」とか「結合を与える射」とか、うまく定義できない。

アーベル圏をenrichするモノイド圏は、テンソル積をモノイド積とする圏だな。結合を与えるcomp:hom(A, B)×hom(B, C)を考えるとき、この×は集合圏の×だし、compは双線形。双積のモノイド圏(A, +, 0)それ自身を使ってenrichしているわけではない。

テンソル積の定義を普通に考えるなら、複線形写像が必要だ。複線形写像はいったいどこに在る？ アーベル圏Cの外に環境（ambient category）Aを考えて、C⊆Aとして考えたほうがいいような気がする。自然埋め込みC→Aは直積は保存するが、双積は保存しない。

アーベル圏Cと環境Aがあれば、複線形写像が定義できて、複線形写像の複圏も定義できるだろう。テンソル積は複圏を（通常の）圏で表現するような操作だろう。

近アーベルで考えるときも状況はほぼ同じはずだ。