このブログは、旧・はてなダイアリー「檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編」（http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/）のデータを移行・保存したものであり、今後（2019年1月以降）更新の予定はありません。

今後の更新は、新しいブログ http://m-hiyama-memo.hatenablog.com/ で行います。

形式言語理論から力学へ向かう（あるいは逆の）ために

形式言語理論 圏一般論 まとめ 課題

直前のエントリで書いた「空白部分（わかってないところ）の輪郭」をスケッチするために書く。すっげーラフスケッチだけど。

項モナドからの構成

まず、指標Σに対する圏C上の項モナドT_Σから出発。T=T_ΣのKleisli圏C_TとCirc-Kleisli圏C_+Tは作れる。が、C_T、C_+Tの二構造（two-structure）、モノイド構造、トレース構造が完全にわかっているわけではない。

指標Σと変数集合の類Vから出発すると、単純代入系と再帰代入系ができる。Σ項tから項グラフ（グラフ項とよんだほうがいいのかもしれないが）を作れる。このグラフは解放辺（開いた辺）を持つものだ。単純代入系／再帰代入系からもグラフができる。こっちはペトリネットに近い、関数ノードと変数ノードを持つ。

Σの項、単純代入系、再帰代入系がそれぞれ、解放辺付きΣグラフ、境界付き（アサイクリック）Σグラフ、境界付きサイクリックΣグラフに対応する。一方で、C_T=C_Σの射（Kleisli射）は単純代入系で表現されるから、境界付きΣグラフを定義する。同様に、C_+T=C_+Σの射（Circ-Kleisli射）は境界付きサイクリックΣグラフを定義する。

まとめると、指標Σごとに、

  • Σ単純代入系の圏 = Kleisli圏C_T = C_Σ ⊆ 境界付きΣグラフの圏
  • Σ再帰代入系の圏 = Circ-Kleisli圏C_+T = C_Σ ⊆ 境界付きサイクリックΣグラフの圏

一方、C_T⊆T_+Tなのだから、項モナドT_ΣのCirc-Klsisli圏と境界付きサイクリックΣグラフの圏を詳しく調べればいいという方針は得られる。

圏bGraph上の力学

境界付きサイクリックΣグラフの圏をbGraph_Σと書く。Σが明らかなら単にbGraph。

  • bGraphは(0+1)コボルディズム圏
  • bGraphは、それだけでは意味論を持たない（構文的な圏）
  • bGraphは二構造を持つはず、その二構造はよくわかってない。複数の二構造を持つかも。
  • bGraphは n > 2のn構造を持つ（持たせられる）かもしれない。
  • bGraphにトレース（いやっ、フィードバックか）を定義できるはず。
  • bGraphはコンパクト閉圏に埋め込めるはず。

問題となるのは、bGraph上に意味論をどう組み立てるか -- そのためにTQFTを採用したい。具体的にTQFT関手を作るのだが、まず、グラフG上に「場」を構成して、その場からTQFT関手を作るつもりだ。がしかし！ 場の方程式＝力学を定義する原理がよくわからない、アヘーーーー。「最小作用の原理」なのかな？

近アーベル圏と行列計算

普通のTQFT（より一般にxQFT, xFT）の場合、TQFT関手の値の圏はアーベル圏である。物理／幾何的な文脈なら、有限次元の複素ベクトル空間の圏になることが多い。有限次元の代わりにヒルベルトとするとか、一般の体を考えたりもする。

形式言語理論に対してアーベル圏では辛い。ベキ等半環上の加群の圏がふさわしいだろう。ベキ等性までは仮定しなくていいが、半環を使う必要はある。それで、近アーベル圏が欲しくなる。僕が考えている近アーベル（nearly Abelian）な圏とは：

  1. 射の足し算ができる； 可換モノイドでenrichされている。
  2. 双積が存在する； 有限積、有限余積を持ち、それが一致する。
  3. 零対象を持つ；始対象、終対象を持ち、それが一致する。

他にも必要な条件があるかもしれないが、欲しい事実は：

  1. 双積と零対象を特定（distinguish）することにより、対称モノイド圏となる。
  2. End(A)が半環となる。
  3. 行列計算ができる。

特に行列計算は重要。I, Jが集合だとして、a:I+J → |C|とA:J×I→Cが行列だとは、A(j,i) : a(i)→a(j) in C となっていること。Aの意味は、Σa(i) → Σa(j) なるCの射で与えられる；ここで（ここだけ）Σは双積。

C係数行列の圏とグラフの圏／場の圏

※記述が多少混乱しているが、直さない。

近アーベル圏Cを固定する。添字集合の圏Vも固定する。実際上、VはSetだと思ってもよい。

Mat(V,C)は行列の圏である。|Mat(V, C)| = V となっている。I, Jに対して、Mat(V, C)(I, J)を単にMat(I, J)とも書く。A∈Mat(I, J)のとき、添字を明示すると、A(j, i)となるのはあきらめる（イヤだけど）。

A∈Mat(I, J)、つまり、A:I→J in Mat のとき、IとJの完全二部グラフ上に、係数a(j, i)で辺ラベリングができる（辺の向きはIからJとする）。IからJの二部グラフをBip(I, J)とすると、BipはMatからbGraphへの埋め込み関手を定義して、さらに、辺ラベル付きのグラフはバンドル（バンドルも接続付きだから「場」と考えてよさそう）となる。

もう少し整理するために、近アーベル圏Cの対象Iを決める。I≠Oとして、K = End(I)。V=Setとする。0は零対象の恒等、1はIの恒等だとする。これで、係数が0, 1だけからなる行列はMat(C) = Mat(V, C)で意味を持つ。

Setの射、つまり普通の写像と、Setの二項関係は、Mat(C)に埋め込める。より具体的には、Mat(C)の{0,1}係数の行列に埋め込める。一方で、有向二部グラフを考えると、普通の写像も関係もbGraphに埋め込める。Matを経由した埋め込みと、直接二部グラフを作る埋め込みは同じものである。

さてここで、SetもRelもMat(C)もbGraphも全部埋め込める大きな圏を作る。それが「C値バンドルの圏」。バンドル圏の対象は、添字集合I（これは境界ノード集合ともみなす）で添字付けられたCの対象の族。バンドル圏の射{a_i|i∈I}→{b_j|j∈J}は、I, Jを境界とするグラフG上で定義されたCへのグラフ準同型で、境界IとJへの制限が{a_i|i∈I}、{b_j|j∈J}に一致するもの。

bGraphをバンドル圏に埋め込むには、すべてのノードをI∈|C|に対応させて、すべての辺を1 = Id_I∈Cに対応させる。Mat(C)のバンドル圏への埋め込みは、二部グラフ上のバンドルを考えればよい。

課題

  • 近アーベル圏Cに係数を持つ行列圏Mat(C)と行列計算を調べよ。
  • 近アーベル圏にテンソル積を定義できないか。Iはテンソル単位としたい。
  • Mat(C)内で形式的にテンソル積（クロネッカー積）を定義できないか。
  • 二圏上のトレースの定義はどうあるべきか。
  • Circ-Kleisli圏の上の二構造とトレース構造を調べよ。
  • bGraph上の二構造とトレース構造を調べよ。
  • バンドル圏を正確に定義せよ。
  • バンドル圏は、局所的に（グラフごとに）圏構造（射は場）を持つが、大域的な圏構造と局所的な圏構造の関係をハッキリと。
  • 具体的なTQFTは、行列圏Mat(C)（添字は集合）に値を持つが、これは随伴対を定義するのではないか。
  • 行列の基本変形は、なにか2セルを定義するのではないか。
  • グラフ書き換えとの関係は？
  • 近アーベル圏の例をたくさん作れ。

うーん、これらを調べても、静的な構造しか出てこない。力学＝場の方程式＝運動の法則はどこでどう入ってくるのだろう。別な言い方すると、時間をどこで入れるか？

コボルディズムの説明で、境界多様体は「空間概念」で、コボルディズム多様体は「時空概念」だと説明があった。時区間は[0, 1]でモデル化される。しかし、時間が[0, 1]ってのは単純すぎるしな。