TQFTの定式化
マーク・ホプキンス（Mark William Hopkins）は「形式言語理論と場の量子論が似ている（同じ枠組みだ）」と指摘している。僕は、このホプキンスの観察をマジメに理解したいのだな。
ところが、物理がまったくサッパリわからない僕には、「場の量子論」と言われても困ってしまう！手の出しようがない。
唯一なんとか見当が付くのは、アティヤの公理だけ。Mayのまとめを眺めた。
- J.P. May "NOTES ON ATIYAH'S TQFT'S" → http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/TopQFTNotes.pdf
今日検索で見つけた次の論文は、解説になっているようだ。
- TQFT - a new direction in algebraic topology→http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9912/9912085.pdf
- Multiplicative Structures of 2-dimensional Topological Quantum Field Theory→http://basilo.kaist.ac.kr/preprint/ESIPR/2003/esi1394.pdf
TQFTの定義域はコボルディズム圏だが、コボルディズムの解説は：
- Tom Weston "AN INTRODUCTION TO COBORDISM THEORY" →http://www.math.umass.edu/~weston/oldpapers/cobord.pdf
マーク・ホプキンス自身、KleeneQFT という言葉を使っているが、*QFTやら*FTやら、色々な例がありそうだ。僕のイメージは：
- (0+1)コボルディズムの圏で考える。次元は最小。
- ノードは、ペトリネット風に考えたほうがいいかもしれないが、当面、単なるノードでもよし。
- 半線形な量を考える。Kleene代数やトロピカル代数（いずれもsemiring）がとりあえずの例。
- 行列計算をしたい。
- バンドルは、グラフGから圏Cへのグラフ準同型（関手に拡張できる）
- バンドルの圏Bundle(G, C)を定義する。A, Bがバンドルのとき、射α:A→Bは、自然変換のようなもの。
- 「場」は、圏Bundle(G, C)の射α::A⇒B:G→Cのこと（バンドルA, Bが対象）。
- 特に、自明なバンドル（幾何学なら自明直線束）からの射はセクションを与える。
- 場があれば、力学ができる。
- 2セルとかトレースも入れたいのだが、どうするかわからない。いや、少しはわかるが。
- 作用積分はよくわからないが、経路積分（総和）は定義できるだろう。
- Bundle(G, C)のGやCを動かすとどうなる？
- Bundleはindexed categoryになるな。
- Bundle(G, C)とBundle(H, C)のgluingもできる。
- 行列Mat(Σ,Γ; C)は、Bundle(G, C)でGを特別に選んだモノだろう。
- 場からQFT関手を実際に構成する。このとき経路総和を使うのか？
- dualizer * (スター演算）は定義できるか？
あ、それと、Kleene圏に関しては：
- Wolfram Kahl "Refactoring Heterogeneous Relation Algebras around Ordered Categories and Converse"→http://www.cosc.brocku.ca/Faculty/Winter/JoRMiCS/Vol1/PDF/v1n12.pdf
