絵算の基礎

二圏、三圏を扱うため、絵算（pictorial calc.）の練習をすることにした。

自然変換α::F⇒G:A→Dを描いてみる。ペースティング図、スタック図（Santiago graphical notation）、ストリング図で描くと、次のようになる。

交替律（interchange law）は、スタック図、ストリング図で次のようになるだろう。

モナドの結合律は次のようか？ ストリング図もどきも描いてみたが、これでいいかどうかよくわからない。雰囲気は伝わる。

(F:C→C, μ, η）と(G:C→C, ν, ε)がモナドのとき、結合モナド(F;G:C→C, μ, η)（同じμ、ηを使ったが、Fのそれとは違う）に関する中間単位律（middle unitary law）は次のように描ける。

等式的に書けば：

 F;G =~→(F;I);(I;G) -[(F;ε)*(η;F)]→(F;G);(F;G) -[μ]→F;G

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 F;G ==→ F;G

これは、XとYがモノイドのとき、X×Yに入れる乗法（標準的な直積構成）に対して、(x, 1_Y)*(1_X, y) = (x, y) が成立することに対応する。

スタック図はけっこう使いやすそうだ。モノイド圏のボックス図、ワイヤー図、多圏のサーキット図もふくめて、各図の関連をハッキリさせたいものだ。