なぜ、僕が多値を問題にしたか

本編のエントリー「多値関数の話をもう少し -- 課題を3つ」に対して、「メモ編」的な補足を行う。

関数fの値が、y1, y2, ..., yn であるとき、それをタプル(y1, y2, ..., yn)であると見なせば、ハナシが済むのか？ 通常の数学の範囲内では、それで困らないだろう。つまり、直積も1つの集合だから、所詮は「1つの集合→１つの集合」として多引数／多値関数（写像）も定式化できる。

だが以上の論法には、集合概念と直積の存在が暗黙に仮定されている。よって、その前提が使えない状況では、タプルを持ち出すのは無意味・無力となる。

例えば、ゲンツェン流のシーケント計算では、集合概念が（有限集合でさえ）前提されていない。使えるのは、目前に与えられた記号列（図形）に対する直観だけである。そのため、集合概念を使えば自明である「縮約（減）、水増し（減）、交換（換）」などの図形操作が明示的に（構造規則として）与えられている。これが過剰な潔癖主義かというとそうではなく、構造規則の一部を制限することにより新しい論理が生まれる（可能性がある）。実際、線形論理では構造規則が自由に使えない（線形論理、よく知らんのだけど）。

圏論のほうの例をあげれば、標準的“圏”の拡張として、複圏（multicategory）、多圏（polycategory）がある。複圏、多圏が、いつでも通常の圏に還元できるわけではない。複数のモノを並べることができても、それらの直積が考えられないときもある。

論理や計算の世界では、多引数／多値とタプルの間には（ひょっとして越えがたい）ギャップがある。（※ストリート、バタニンのコンピュータッドも面白そうだが、ちっとも理解してない。）