Setの反対圏からのimplication
奇妙な事情から、Setopの話（反対圏の実現 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編、集合の反対圏と束について - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編）をしてしまった。
酒井さんの指摘のように、分配律が抜けていたからAtomfulLatの対象は、「アトムを十分に持つ分配的な完備束」と変更する必要がある。そうすれば、Setopの実現になるだろう（たぶん）。分配律を導く他の条件を入れてもいい。例えば、確かハイティング（Heyting）代数になってれば分配すると思った（要確認）。
さて、AtomfulLatの条件を少し弱めてみる。例えば、アトムの条件をはずして単なる分配的完備束の圏DistCLatを考える。すると、忘却関手を通してAtomfulLat⊆DistCLatとみなせる。AtomfulLatをSetopと（乱暴にも）同一視すると、Setop⊆DistCLat となる。反対に（-opを適用）しても圏包含関係が保存されることと、(Cop)op = C を使うと、Set⊆DistCLatop となる。
これは何を意味するか？ DistCLatの（形式的な）反対圏は、集合圏の拡張になっているってことだ。elementの概念を使わずに記述できる集合に関する命題は、DistCLatopでも成立する可能性がある。つまり、elementを持たない（より正確には、elementに依拠しない）集合、pointを持たない空間の概念を導入することになる。
酒井さんも言及していたが、フレーム（束論的概念）とロケール（位相空間的概念）は、反対（opposite）を使って定式化される。ロケールは、標語的には「点を持たない空間」だ。
代数構造から位相空間（みたいなもの）を作るのは珍しくなく、ブール代数のストーン表現は典型例だし、可換ノルム環の表現も有名。代数幾何のアフィンスキームも可換環のoppositeになっている。つまり、Setopの構成はなんか作為的ではあったが、それでも、Stone - Gelfand - Grothendieck の系譜にある、と言えなくもない（ような、やっぱ言えないような）。
量子力学、場の量子論では、（空間の）点概念が問題になるらしい。が、僕は物理はカラッキシ全然わからなくて、量子力学も、Mr.お水・江本勝先生の言っている程度の量子力学（あるいは、それと同等のトンドモ説）しか知らない。で、物理的な内容はジェンジェンわからんけど、束の変種であるクオンテイル（quantale）が量子力学を起源として提案されている。
で、クオンテイルの定義をみるかぎり（っても、今は思い出せない*1）、クリーネ代数（クリーニ代数）とよく似てる。クリーネ代数といえば形式言語理論で、クオンテイルは量子論、… うーむ、またしてもマーク・ホプキンスが言っていた「形式言語理論と場の量子論は似ている」というobservationを思い出してしまう今日この頃。
*1:ここは「orz」を使うべきか？
