問題集6の目的と解答と追加説明その2 (A14R6-2) - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

※この記事は「記事14 解答6-2」

問題集6とは、次の記事（の問題部分）のことです：

命題と、そのコンテキスト／真理集合 (A8P6)

「その1」は、次の記事です。

問題集6の目的と解答と追加説明 (A14R6-1)

内容：

書き方の注意
限量子を含む閉論理
コンテキスト付き論理式
コンテキスト付き論理式（続き）
コンテキストの水増し
様々な論理式を作ってみる
限量子も使ってみる

書き方の注意

次の書き方の約束は、あまり（ほとんどかも）使っていません。

メタ論理（形式されてない通常の論理）の論理記号は丸括弧で囲む。(∧), (⇒) など。
形式化された命題である論理式は引用符で囲む。"∀x∈R.∃y∈R.(y² = x)" のように。

形式化されている／されてないを特に強調したいときは、気まぐれに使います。

限量子を含む閉論理

前回は、「限量子を含む閉論理」の途中まででした。解答を再掲すると：

〚∀n∈N.(n ≧ 0)〛 = 1
〚∃n∈N.(n < 0)〛 = 0
〚∀n∈N.∃m∈N.(m ≧ n)〛 = 1
〚∀n∈N.∃m∈N.(m < n)〛 = 0
〚∀x∈R.∃y∈R.(y² = x)〛 = 0
〚∀x∈R.∃y∈R.(x ≧ 0 ⇒ y² = x)〛 = 1
〚∃y∈R.∀x∈R.(x ≧ 0 ⇒ y² = x)〛 = 0
〚∀x∈R.∀y∈R.∃n∈N.((x ≧ 0 ∧ y > 0) ⇒ yn ≧ x)〛 = 1

3番以降は、限量子が2つ付いています。「命題と、そのコンテキスト／真理集合 (A8P6)」の追記に書いた「感情表現をタップリ混じえた日本語」に沿って考えれば、おそらく解答は得られるでしょう。

しかし、2個以上の限量子が付いた形式化された論理式の数学的解釈は、日本語としての解釈とは別に定義する必要があります。なぜなら、形式化された論理式は人工的に定めた構文的なデータに過ぎず、我々人間が意味を定義してあげないと、天然の意味などないからです。

「意味を定義してあげる」作業は、国語辞典の項目を書き下す作業ではありません。「問題集6の目的と解答と追加説明 (A14R6-1)」において、1個の限量子に対してやったのと同程度の精度の議論が必要です。が、これはちょっとめんどうなので、オプショナルな（必須ではない）別記事にします（短い解説なら、この記事の最後にあります）。

コンテキスト付き論理式

(x∈R| x < 0 ∨ 1 < x)
(x∈R| 0 < x ∧ x < 1)
(x∈R| 0 < x ∧ 1 < x)
(x∈R| x < 0 ⇒ x² = 1)
(x∈R| x² = 1 ⇒ x < 0)
(x∈R| x² = 1 ⇒ x = 0)
(x∈R| x² = 1 ⇒ x = 1)
(x∈R| x² = 1 ⇒ (x = 1 ∨ x = -1))
(x∈R| (x² = 1 ∧ x ≧ 0) ⇒ x = 1)
(x∈R| (x² = 1 ∧ x ≧ 0) ⇒ (x = 1 ∨ x = -1))
(x, y∈R| x² + y² = 1)
(x, y∈R| x² + y² = 4 ∧ x + y ≧0)
(x, y∈R| x² + y² = 4 ∧ x + y ≧ -1)
(x, y∈R| x² + y² = 1 ∨ x + y = 0)
(x, y∈R| x² + y² = 1 ⇒ x = 1)
(x, y∈R| x = 1 ⇒ x² + y² = 1)
(x, y∈R| (x = 1 ∧ y = 0) ⇒ x² + y² = 1)
(x, y∈R| x² + y² = 1 ⇒ x + y ≦ 2)
(x, y∈R| x² + y² = 1 ⇒ x + y ≦ 1)
(x, y∈R| x² + y² ≦ 1 ⇒ x + y ≦ 2)
(x, y∈R| x² + y² ≦ 1 ⇒ x + y ≦ 1)
(x, y∈R| (x² + y² ≦ 1 ∧ x + y ≦ 0) ⇒ x + y ≦ 1)

1から10のスコット・ブラケットを図示すると次のようです。コンテキスト領域は、R = 直線で、赤い所がスコット・ブラケットの値（真理集合）です。赤くない所は真理集合の補集合、つまり反例集合です。

実数の区間を、閉区間 [a, b] 、開区間 (a, b) のように書くと：

〚x∈R| x < 0 ∨ 1 < x〛 = (-∞, 0)∪(1, +∞)
〚x∈R| 0 < x ∧ x < 1〛 = (0, 1)
〚x∈R| 0 < x ∧ 1 < x〛 = (1, +∞)
〚x∈R| x < 0 ⇒ x² = 1〛 = {-1}∪[0, +∞)
〚x∈R| x² = 1 ⇒ x < 0〛 = (-∞, 1)∪(1, +∞)
〚x∈R| x² = 1 ⇒ x = 0〛 = (-∞, -1)∪(-1, 1)∪(1, +∞)
〚x∈R| x² = 1 ⇒ x = 1〛 = (-∞, -1)∪(-1, +∞)
〚x∈R| x² = 1 ⇒ (x = 1 ∨ x = -1)〛 = (-∞, +∞)
〚x∈R| (x² = 1 ∧ x ≧ 0) ⇒ x = 1〛 = (-∞, +∞)
〚x∈R| (x² = 1 ∧ x ≧ 0) ⇒ (x = 1 ∨ x = -1)〛 = (-∞, +∞)

含意'⇒'を含む (x∈X| A⇒B) の形のコンテキスト付き論理式のスコット・ブラケットを求めるときは、いちいち悩まないで定義どおりに計算します。

〚x∈X| A⇒B〛 = 〚x∈X| A〛^c∪〚x∈X| B〛

例えば、"(n∈N| nは偶数 ⇒ n²は偶数)" のスコット・ブラケットならば：



    〚n∈N| nは偶数 ⇒ n²は偶数〛

  = 〚n∈N| nは偶数〛^c∪〚n∈N| n²は偶数〛

  = {n∈N| nは奇数}∪{n∈N| n²は偶数}

ここで、{n∈N| nは奇数}が真理集合に入ってますが、これを真理集合に入れないと、奇数の集合は真理集合の補集合、つまり反例の集合になってしまいます。奇数が反例なのではなくて、

偶数であって、その二乗は偶数ではない自然数

が反例です。

反例ではない自然数は正例、つまり真理集合＝スコット・ブラケットに入ります。コンテキスト領域（今の場合はN）の要素は、必ず正例か反例のどちらかです。「正例でも反例でもない」とか「正例でもあり反例でもある」なんて要素は在りません！「Yesとも言えるしNoとも言える」なんて答え方は、まったく許されないのです。

※注意：「nは偶数」は日本語ですが、"∃k∈N.(n = 2k)" とすれば形式化された命題になります。全部を形式化した形にすると長くなるので、一部を非形式的に日本語で書く略記はしばしば使います。定式化や理論構成自体は厳密でも、説明や表現はとても雑でエエカゲンなんです。