含意命題と状況設定

数学の命題記述で、全称限量が省略される。ちゃんと書くと：

• ∀a, b∈R.( (a + b)² = a² + 2ab + b² )
• ∀x∈R.( x² ≧ 0 )
• ∀x∈Z.( x ≧ 0 ∨ -x ≧ 0 )

この限量子省略が曖昧性に繋がり、コミュニケーションに失敗することがある。変数の変域が明示されてないと解釈が食い違うことがあるし。単なる等式だけだと、「例外なくすべて」が強調されない。

定理の命題の多くは含意を含む。

• ∀a, b, c∈N.(a≦b ∧ b≦c ⇒ a≦c)
• ∀a∈R.(a≧0 ⇒ ∃x∈R.(x² = a))
• ∀x, y, z∈Z.(yはxの倍数 ∧ zはyの倍数 ⇒ zはxの倍数)
• ∀a, b, c∈R.(b² - 4ac ≧ 0 ⇒ ∃x∈R.(ax² + bx + c = 0))
• ∀a, b∈Z.(aとbが互いに素 ⇒ ∃x, y∈Z.(ax + by = 1))
• 三角形ABCにおいて、角Cが直角 ⇒ a² + b² = c²

最後の例では、三角形全体の集合を考えないと限量ができない。頂点A, B, Cや三辺a, b, cは、三角形全体の集合の上の関数となる。難しいので、あまり詮索しないが、強いて言えば、集合Triangle上に、<A, B, C, a, b, c>:Triangle→R6があって、「Aは角Aの角度、aは角Aの対辺の長さ」のような約束がある。頂点、角、角度は、概念的には区別してるかもしれないが、記号的には区別してない。

命題が含意命題だったり、定理が前提を含むと、

• Γ |- ∀x∈X.(P⇒Q)

の形になり、ΓやPを考慮した解釈が必要。Γは前提、Pは前件。

あああー、hypothesis, premise, assumption, prerequisite, antecedent（後件はconsequent）とかナントカ、ウギギギイ。

それはともかく（落ち着いて）、含意命題の仮定（前件）の解釈が難しい。

• 事実と仮定の区別ができない。

P⇒Q の真偽判定のときに、Pだけ独立で取り出して真偽判定しがち。

• 宝くじで一千万円当たったら、フェラーリを買う。
• 明日晴れたら、運動会を行う。
• kが-1の平方根なら、kは1の四乗根である。
• 最大の整数が存在するなら、x + 1 = x となる整数が存在する。
• どんな整数xでも x ＜ x + 1 なら、最大の整数は存在しない。

仮定を含む命題の状況設定はホントに難しい。

状況設定例 1

比喩と擬人化を使う。

鈴木くんは、一引数関数suzを作った。関数suzは次の仕様を満たす。

• 0でない任意の実数aに対して、a*suz(a) = 1 が成立する。

関数suzが上記の仕様を満たすのは確実で、信用していいとする（仮定）。

山田くんは、ニ引数関数yamを作った。関数yamは次の仕様を満たす。

• 0でない任意の実数xと、まったく任意の実数yに対して、yam(x, y)*x = y が成立する。

関数yamが上記の仕様を満たすのは確実で、信用していいとする（仮定）。

0でない任意の実数aとまったく任意の実数bに対して、b*suz(a) と yam(a, b) を呼び出して計測したところ、yam(a, b) が遥かに速いことが分かった（単なるオハナシ）。そこで、b*suz(a) と書いてある場所を、すべて yam(a, b) に置換しようと考えた（単なるオハナシ）。

しかし、b*suz(a) を yam(a, b) に全置換して問題は起きないのだろうか？（問題提起）

状況設定例 2

鈴木くんは、一引数関数suzを作った。関数suzは次の仕様を満たす。

• 負でない任意の実数aに対して、suz(a)*suz(a) = a が成立する。

関数suzが上記の仕様を満たすのは確実で、信用していいとする（仮定）。

山田くんは、ニ引数関数yamを作った。関数yamは次の仕様を満たす。

• 負でない任意の実数xと、負でない任意の実数yに対して、yam(x, y)*yam(x, y) = x*y が成立する。

関数yamが上記の仕様を満たすのは確実で、信用していいとする（仮定）。

負でない任意の実数aと負でない任意の実数bに対して、suz(a)*suz(b) と yam(a, b) を呼び出して計測したところ、yam(a, b) が遥かに速いことが分かった（単なるオハナシ）。そこで、suz(a)*suz(b) と書いてある場所を、すべて yam(a, b) に置換しようと考えた（単なるオハナシ）。

しかし、suz(a)*suz(b) を yam(a, b) に全置換して問題は起きないのだろうか？（問題提起）

状況設定例 3

鈴木くんは、四乗すると1になる数sを発見したという。数sは次の仕様を満たす。

• s⁴ = 1

とりあえず、鈴木くんの言い分を信じて、上記の仕様を満たすsがあると仮定してみる（仮定）。

山田くんは、四乗すると-1になる数yを発見したという。数yは次の仕様を満たす。

• y² = -1

とりあえず、山田くんの言い分を信じて、上記の仕様を満たすyがあると仮定してみる（仮定）。

さらに山田くんは、次の主張をしている。

• 鈴木くんのsは不要で、自分のyさえあればよい。なぜなら、yの代わりにsを使えるから。

上記の山田くんの主張は正しいだろうか？（問題提起）

論理的分析

妥当性〈varidity〉全般（広義の妥当性、正当性、真）を表すために '|-'を使うことにする。分類して、

• |-d 定義により真である、真とみなす。
• |-a 公理だから真である、真とみなす。
• |-p 証明〈proof〉があるから真である、真とみなす。
• |-m モデル〈model〉論的に真（事実）であるので、真とみなす。
• |-* 何らかの意味で真である、真とみなす。

含意命題 P⇒Q の真偽判定の主たる方法は、

• P |-p Q

になる（演繹定理）。これは、|-* P を含んでいない。しかし、

1. |-* P
2. P |-* Q

の2つを確認しないとダメだと考えることが多いのだろう。つまり

• P⇒Q ≡ P∧P⊃Q

ここで、P⊃Qは、Pの真偽に無関係な含意（本来の含意）。さらに言い方を変えると：

• [誤解された含意] P⇒Q とは、Pであることが事実で、事実であるPの状況下ではQも必ず成り立つ。

こうなると、P⇒Q は、Qと同値になってしまうのだが、そういう誤解をしてる人は多い。この誤解を解くのは非常に大変だと実感している。どうしたら、いいものか？

• P |-m Q

であるとき、M |= P であるようなモデルMに対して、M |= Q のことで、これが一番分かりやすい「ならば」のような気がする。この「ならば」を

• P |⇒ Q

とすると、次が一致することを納得すればよい。

1. P |⇒ Q
2. P |-p Q
3. |-p P⊃Q

ここで、問題になるのは、Pが真かどうかよりは、Pのモデルが存在しない事態だろう。

• Pを満たすモデルMがないときの、P|⇒Q とは？

結局は、命題論理の A⊃B の定義になるのかも知れない。

P |⇒ Q の解釈が、次のようなことなんだろう。

1. Pを満たすモデルが存在する。
2. Pを満たすモデルは、ことごとくQも満たす。

もちろん、1番は不要！ だが、不要を納得させるにはどうしたいいのか？？ 難しい。

「モデルの全体」という外延を意識してもらうか。それが一番いいのかな。命題Pの外延を[P]として、P |⇒ Q の意味を、

• [P]⊆[Q]

とする。これは、Tを（そのとき考えている）全体集合として、

• [P]^c∪[Q] = T

メタな立場からは、

• [P]⊆[Q] ⇔ ([P]^c∪[Q] = T)

そして、

• (P |⇒ Q) ⇔ [P]⊆[Q]
• (|⇒ P⊃Q) ⇔ ([P]^c∪[Q] = T)

[追記]「P⇒Q は真」だという主張に、「Pが真だ」はまったく含まれてない。ということがたぶん認めがたいのだと思う。

• もし僕（本人は男）が女だったら、結婚式にはウェディングドレスを着たい。
• もし ∀x∈N(x ≦ a) だったら、∀x∈N(-a ≦ x)

二番目では、変数aをどこでどう導入したかが問題だが。[/追記]