等値的圏と同値的圏と具象圏とn-代数と論理

等値的圏と同値的的圏

k-等値的圏〈k-equational category〉は、k≦n であるn-射がすべて恒等になってしまう圏。

1. 0-等値的圏： 0-射がすべて恒等？ 対象がすべて恒等？ うーん？？ 空集合か単元集合のことだ。よって、0-等値的圏の全体はブール集合になる。
2. 1-等値的圏： 1-射がすべて恒等。これは集合のことなので、1-等値的圏の全体は集合圏。
3. 2-等値的圏： 2-射がすべて恒等。これは圏のことなので、2-等値的圏の全体は圏の圏。

次に、k-同値的圏〈k-equivalence category〉は、k≦n であるn-射がすべて可逆になる圏。これはいきなり難しい。単なる同値関係とかではない。同値と等値の違いと関連性は難しい。

1. 0-同値的圏： 0-射がすべて可逆？ 対象がすべて可逆？ 単なる集合か？
2. 1-同値的圏： 1-射がすべて可逆。亜群。1-同値的圏の全体は亜群の圏。
3. 2-同値的圏： 2-射がすべて可逆。トラック圏。2-同値的圏の全体はトラック圏の圏。

同値的圏から等値的圏への移行は：

1. 0次元： ブール集合から集合圏
2. 1次元： 集合圏から亜群の圏
3. 2次元： 圏の圏からトラック圏の圏

さらに、k-痩〈k-thin〉またはk-薄という概念を使う。k-痩とは、次元k以上の射は、ホムセットごとに高々1個しかないこと。

• k-同値的圏がk-痩ならば、k-等値的圏

ところが、0に関しては、

• 集合が0-痩ならば、二値真偽値（ブール集合の要素）？

定義に戻ると：

• 次元0以上の射は、ホムセットごとに高々1個しかない

0次元のホムセットは、-1次元セルを2つの引数にとって、

• Hom₀(*, *) = Obj

のはずだから、

• 対象は、対象集合内に高々1個しかない。

ん？ あってるわ！

つうことは、k = 0 も含めて、k-等値的、k-同値的、k-痩 という概念は意味を持ち、役に立つことになる。

具象圏

次に具象圏。CがA上の具象圏だとは、U:C→Aという忠実関手を持つこと。対象集合に対して埋め込み（単射）である必要はない。つまり、Uのファイバーが自明である必要はない。もし、Uのファイバーが自明ならば、この具象圏は範疇的という。範疇的は使われていた用語だが、原語がcategoricalでどうもマズい。硬い〈rigit〉を使うか、剛性〈rigidity〉を持つ、とも言える。ベース圏Aの対象に対して、対応するCの対象は高々1個しかない。

Uは忘却関手だが、Uが広い関手〈wide functor〉、つまり対象で全射になっているとき、具象圏も広いという言う。また、Uが充満なら具象圏も充満〈full〉という。まとめると：

• 硬い〈rigid〉具象圏
• 広い〈wide〉具象圏
• 充満〈full〉具象圏

A上の具象圏Cは、Aに対する構造付き対象〈structured object〉の圏だと解釈できる。Cの射は構造の準同型射で、忘却関手による像は、準同型射の台射となる。構造付き対象の圏が、

• 硬い具象圏： 台の上に構造は載っても高々ひとつである。複数の異なる構造は許容できない。
• 広い具象圏： どんな台の上にも構造を載せることが出来る。
• 充満具象圏： 両端に構造が載るどんな台射も、両端の構造を保存することになる。

充満具象圏は面白くない、つうか、自明になってしまうので、たぶん考えてもしょうがない。具象圏が硬いか広いかは興味ある話題となる。

代数

その次は代数の話。圏は高次圏だとする。圏Cは(n + 1)-等値的とする。これを普通はn-圏と呼んでいる。代数を定義するためには、アンビエント圏（n-圏）と指標と等式的表明〈等式的制約〉の概念を必要とする。アンビエント圏はベース圏とか台圏とも言う。

Σはn-指標とする。これは、最高次元のセル（指標を構成するモノ）がnである指標。指標はコンピュータッド、プレゼンテーションとまったく同義。n-指標に、(n + 1)セルを等式の形で追加した(n + 1)-指標（＝等式的n-仕様）を代数的n-仕様と呼ぶ。n-仕様は、(n + 1)-指標である点に注意！

代数的n-仕様（＝特別な(n + 1)-指標）のモデル達の圏をn-代数の圏と呼ぶ。

1. 0-代数： 代数的0-仕様（1-指標）のモデル： 0-指標から作った0-式のあいだの等式 → 単なる集合
2. 1-代数： 代数的1-仕様（2-指標）のモデル： 1-指標から作った1-式のあいだの等式 → 普通の代数
3. 2-代数： 代数的2-仕様（3-指標）のモデル： 2-指標から作った2-式のあいだの等式 → 順序構造とか構造を持つ圏とか

論理

最後に論理の話。1-論理は、

• 議論域となる1-集合
• 議論域の全体である1-圏
• 真偽値のを提供する1-代数

1-代数を特定するの、これを論理代数と呼ぶ。特定した論理代数は忘却関手でベース圏（議論域達の圏）に落とせて、これを真理対象と呼ぶ。普通はブール集合。トポスならサブオブジェクト・クラシファイア。

2-論理は、

• 議論域となる2-集合＝1-圏
• 議論域の全体である2-圏
• 真偽値のを提供する2-代数

議論域として指標を使える。指標のあいだの射は、項モナドで拡張したクライスリ射とする。真理対象は圏だから、これは命題と伴意順序〈entailment order | 論理順序〉の圏と考えてよい。2-代数としてデカルト閉圏とかを使う。

1-論理と2-論理が無関係にあるのではなくて、

1. 1-論理から2-論理を作り出せる。
2. 1-論理を、作った2-論理に埋め込める。
3. 2-論理を、1-論理にレイフィケーション出来る。

こういう条件を満たす多レイヤー論理系をハイパーインスティチューションと呼ぶのだった。1-論理から2-論理をモデル圏も含めて作り出す手法をゴグエン／エルブラン構成と呼びたい。