忠実関手と部分圏：忠実だからって埋め込めないよ

忠実関手 F:C→D がある事と、C⊆D とみなせる事は違う。事例を示す。

集合圏Setの対象（つまり集合）のなかから、基数が可算無限であるモノを全て選び出して類Ωを作る。Ω⊆|Set| であるので、Ωを対象類とするSetの充満部分圏が一意に決まる。その圏をω-Setとする。定義より、ω-Set(A, B) = Set(A, B)。

A∈|ω-Set| のとき、N→A という同型（1：1の写像）が存在するので、そんな写像φをひとつ選んでペア(A, φ)を作る。(A, φ)→(B, ψ) は単にAからBへの写像として定義する。ペア(A, φ)を対象として、ペアのあいだの写像を射とする圏をEnumSetとする（列挙（enumeration）を持つ可算無限集合の圏）。

(A, φ)|→A によって、忘却関手 U:EnumSet→ω-Set を定義できる。これは忠実充満関手である。しかし、忘却関手Uの対象パート U_obj:|EnumSet|→|ω-Set| が単射なわけではない。A∈|ω-Set| に対する“ファイバー”は、様々な φ:N→A を含むので、Iso(N, A) Iso(N, N) と同等の個数の対象を含む。|EnumSet|内のタクサンの対象が、忘却関手によって1個に潰されるのである。

さて、NatOnlyをNだけを対象として、ただ1つのホムセットを NatOnly(N, N) = Set(N, N) と定義した圏だとする。関手 F:EnumSet→NatOnly を次のように定義する。

• 任意のペア(A, φ)にNを対応させる。これ以外の対応はないので、こうする。
• f:(A, φ)→(B, ψ) in EnumSet に対して、φ;f;ψ^-1:N→N を対応させる。

Fが関手であることは簡単にわかる。そして：

• Fは充満忠実である。

だが、Fにより EnumSet⊆NatOnly とみなせないでしょ。すべての可算無限集合を含む |EnumSet| = Ω を単一対象{N}に潰しているのだから。

以上で、2つの充満忠実関手を作った：

1. U:EnumSet→ω-Set
2. F:EnumSet→NatOnly

どちらも埋め込みにはならない。

[追記]EnumSetと同じ圏で、「直積の単位であるが終対象でない例」を作っている。すっかり忘れていたが。

• 直積の単位が終対象とは限らない - 檜山正幸のキマイラ飼育記

この圏は色々な反例を作るのに役立つのかも。

[/追記]