パラメータの嘘

パラメトリックモデルとは、パラメータ空間Θから分布の空間Dist(V)への写像 M:Θ→Dist(V)で与えられて、Mが単射の（識別可能性を持つ）ときを言う。微分構造を考えるなら、Mがどの点でも非特異（微分が退化しない）とする。

こういう定義なのだが、実際にはパラメトリックモデルじゃないのに、あたかもパラメトリックモデルのように扱うときがある。Dist(V)の部分集合（多様体かどうかは不明）Mがあって、その平均μやσ²を問題にするとき、パラメトリックモデルの書き方を使うことがある。実際は、M上の汎関数としてμやσ²があり、その値を使っているだけ。

「モデルMにパラメータθがある」とは次のように考えたほうがいい。

• MはDist(V)の部分集合である。
• θは、少なくともM上では定義された、Dist(V)上の部分写像で、θ:M→Θ。
• 余域の空間Θはθごとに変わるので、固定的に考えない。