対数尤度と射影空間の掛け算

n次元の射影空間 (Rⁿ⁺¹＼{0})／≡ を考える。≡は同じ射線上に乗っていれば同値とする同値関係。

(x₀, x₁, ..., x_n)・(y₀, y₁, ..., y_n) = (x₀y₀, x₁y₁, ..., x_ny_n) で定義される積（アダマール積）は、射影空間に掛け算の構造を与える。各成分が非零な部分集合は可換乗法群となる。零成分を含む元は特異元となり、特異元の全体を次元ごとに分割して複体の構造を与えることが出来る。

(R_＞0)ⁿ⁺¹ に対応する部分集合は、n次元射影空間の開集合になり、これは掛け算に何して部分群となる。(x₀, x₁, ..., x_n) が属する同値類（射影空間の点）を、連比の形で (x₀ : x₁ : ... : x_n) のように書く。

Rⁿ⁺¹の強正錘（strongly positive cone）に対応する射影空間の開集合とその乗法群をM⁽ⁿ⁾とする。(x₀ : x₁ : ... : x_n) |→ (x₁/x₀, ..., x_n/x₀) を商座標と呼ぶことにする。商座標は、M⁽ⁿ⁾→Rⁿの座標を与えて、その像は直角三角形状の領域（内部）となる。

対数関数 Log:M⁽ⁿ⁾→Rⁿ は、商座標を使って、

• Log(q₁, ..., q_n) = (a₁, ..., a_n) + (c*log(q₁) ... , c*log(q_n))

で定義する。a, cは適当な定数（ベクトルとスカラー）である。

M⁽ⁿ⁾を単なる群と見ているだけではダメで、等質空間であり区間[0, 1]が作用するアフィン凸構造も考慮する必要があるだろう。

それで、対数尤度は、M⁽ⁿ⁾とその上の対数に関係していると思う。