モノイド多圏とモノイド閉多圏

モノイド多圏は次のものから構成される。

1. 単対象：集合Oの要素。
2. 多対象：Oの列であるO^*の要素。空列はεとして、A∈A に対する[A]（長さ1の列）はしばしばAと同一視する。
3. 多射：α、βが多対象であるとき、集合 P(α, β) の要素。
4. モノイド積：多対象α、βの連接をα・β と書くことにして、P(α, β)×P(γ, δ) → P(α・γ, β・δ) という演算。多射に関するモノイド積演算も「・」で書く。
5. カット結合：多対象ηが、β = β'・η、γ = η・γ' と書けるときに限り定義される ;_η:P(α, β)×P(γ, δ) → P(α・γ', β'・δ) という演算。

さらに、

1. 単対象 A∈O には id_A∈P(A, A) が対応している（単対象の恒等射）。id_A をDOTN記法で A^ とも書く。
2. α = [A₁, ..., A_n] のとき、[A₁^, ..., A_n] = A₁^・...・A_n を id_α = α^ とも書く。多対象の恒等多射である。
3. 恒等多射に関して単位律が成立する。
4. カット結合に関して結合律が成立する。

閉多圏の話は後で書く。