森田さんの勉強

「連休中にXXXを勉強しよう」は毎年失敗している。今年は「森田理論の勉強」と思ったが捗らず。

森田コンテキストが重要（つうか、これがないとはじまらない）ことはわかった。

• 可換とは限らない環A, Bがあるとする。
• 4つ組 (M, N, φ, ψ)が森田コンテキスト。
• Mは、(B, A)双加群
• Nは、(A, B)双加群
• φは、M(×)_AN → B という双線型写像
• ψは、N(×)_BM → A という双線型写像
• なんか条件を満たす。

森田コンテキストはAとBを繋ぐ（connecting）という意味で射だが、森田コンテキスト自体を対象と考えて、2つの森田コンテキストのあいだの射を考える。

基本的な結果は：

• φとψが全射（surjective）なら、実は可逆。

http://arxiv.org/pdf/math/0608601v2.pdf から引用すると、

Part of the fundamental Morita theorem says that
there is a one-to-one correspondence between the isomorphism types of category equivalences between categories of modules; and the isomorphism types of Morita contexts with surjective maps.

圏の同値が森田同値と呼ばれるから、森田同値類は、全射な森田コンテキストで尽くされる。