行列の高次化

行列を高次元化するといっても、添字を増やしてテンソル計算するような話ではない。それは次元を増やしてない。いや、まー増やしていると言えなくもないが、0次元図形である点を配置する格子の空間の次元を増やしているだけ。

行列をうまく定義しようとすると、やはりカテグラフになる。カテグラフは、圏を係数域とする行列のことだ。カテグラフの圏を構成するには、次の2つの圏を必要とする。

1. S ： シェープの圏。この圏の対象が境界シェープで、射がグラフのシェープとなる。
2. V ： 係数の圏。

Sとしては、2部グラフの圏、一般的な境界付き有向グラフの圏、タングルの圏、コボルディズムの圏などを選ぶ。有限な有向2部グラフの圏を選んだときが普通の行列になる。カテグラフは、Cの射であるグラフに、Vを使ってラベリングしたもの。

オートマトン（ラベル付き状態遷移系）と模倣の圏が、模倣を行列（カテグラフ）とみなして行列の圏になるはずだ。プロ関手も行列のような気がする。