マンダラと時間

僕の作業仮説「マンダラ仮説」は、「計算現象のモデルは複雑だろう」という予測。単に複雑だ、というだけじゃなくて、どんな複雑さかのラフな描像を含む。キッカケはマーク・ホプキンスの指摘。それと、その後の僕の経験に由来する。

TQFT、まー、Q=Quantum はあんまり関係無いのでTFT（Toplogical Field Theory）と呼ぶべきだろうけど -- その枠組でプログラム意味論／計算モデルを作れないか、という話だ。（いきがかり上、Qも付けて引き続き「TQFT」と呼ぶ。）

時間の空間という概念を認めた上で、フローチャートを計算モデルの中核に据えれば、TQFTの枠組みは自然だと思える。

TQFTは、ある種の関手 Z:C→V だ。この関手を構成したり性質を調べるのが課題だが、別な Z':C'→V' があるとき、ZとZ'の関係も議論したい。TQFTの圏TQFTが必要だろう。

とはいえ、任意のTQFTが必要なわけじゃないし、とてもじゃないが扱えない。関手Zが、プログラムの記述（ソースコード）にプログラムの振る舞いを対応させるような関手になっているものだ。ここで、ソースコードとはテキストで書かれたコードではなくて、グラフィカルなソースコード、つまりフローチャートだ。

フローチャートはシェープ（姿形）とラベリング（値や記号の割り当て）から出来ている。シェープは図形的なものだから、(0, 1)次元のコボルディズム圏で記述できるだろう。ラベリングの値はプログラム素子となる。プログラム素子をフローチャートのシェープ（線の図形）上に配置していけば回路図ができあがる。この回路図がプログラム記述＝フローチャート。プログラム素子は別な圏の射となっている。

圏でラベリングしたシェープは、圏ラベル付きグラフだから、 カテグラフと呼んでいた。シェープがタングルの場合は、サークルの扱いに注意する必要がある。カテグラフの特殊ケースにリグラフがある。ラベルが半環に値を取るグラフだ。非可換半環を対象が1つの対称モノイド圏とみなせばいい。rigは半環の別名。

リグラフの全体が、行列の圏の一般化になっているのはすぐ分かる。となると、カテグラフの圏も行列の圏の一般化のはずだ。行列計算で出来ることをカテグラフでも行いたい。行列のトレースや行列式は、カテグラフの文脈でどんな意味があるのだろう？

行列計算は、およそ経路（軌道）の計算と見なせる。軌道とは位置の履歴である。履歴 -- 時間だ、時間が出てくる。時間をどう取り扱えばいいのだ？ それが分かれば、マンダラの正体が少しは明らかになる気がする。