L加群豊饒化と行列計算による説明

文字「L」自体には特に意味が無い。プレースホルダーつうか変数つうか。適当な有限個の代数（広い意味の「代数」！）の集合上を走る変数がL。代数系の集合は {I, F1, F2, N, Z} あたりか。

1. I または I -- 自明なモノイド
2. F₁ または F1 -- 自明な零付きモノイド、通称一元体
3. F₂ または F2 -- 二元体
4. B または B -- ブール半環
5. N または N -- 自然数半環
6. Z または Z -- 整数環

これらの代数を便宜的にL代数と呼ぶ。L代数上の加群、特に自由生成加群により既存の圏（主に集合圏の部分圏）を豊饒化するシナリオ。そのために事前にいくつかの概念と練習が必要。

自由構成

自由群が典型だろうが、自由モノイドのほうがわかりやすい。自由モノイドの要素は「語、文字列、列（シーケンス）、文、リスト」などと呼ばれる。自由モノイド構成は関手になる。モナドにもなる。

自由ベクトル空間、いい例はなにかな？ 電圧ポテンシャルを持った0チェイン、電流を持った1チェインをグラフ上で考えるとか。抵抗が一定の回路グラフの有向辺の上に電流を割り当てる、か。キルヒホッフの法則？ それだけで時間がかかる。

一次式の集合がいいか。もともと形式的だし。自由ベクトル空間構成も関手となって、忘却関手の随伴となる。もちろんモナドになる。

コレクション・データ型

集合A（有限が考えやすい）があるとき：

1. A_⊥ ボトム添加
2. A^* = List<A> クリーネスター、リスト関手
3. FSet<A> = Enum<A> 有限集合関手
4. Bag<A> バッグ＝マルチセット関手
5. A上の自由Z加群

これらはL加群豊饒化と関係する。

1. I豊饒化 なにもしないA
2. F1豊饒化 A_⊥
3. F2豊饒化 Fset<A> 対消滅付き合併
4. B豊饒化 Fset<A>
5. N豊饒化 Bag<A>
6. Z豊饒化 荷電集合

零付き代数に関しては、豊饒化＝局所加群化 だけでなく、全加群化もできる。

局所加群化の例としてのND（非決定性）関手。

行列計算

上で定義したL代数以外の代数系も入るが：

1. 可達問題 Bの計算
2. 最短経路問題 [0, ∞] 上のmin-plus代数
3. 氷の運搬問題 [0, 1] 上のmax-times代数
4. 構文図 アルファベットA上のクリーネ代数

一般化された行列計算

1. ダイクストラのアルゴリズム
2. ウィルスの感染／バイオハザードのシミュレーション
3. 離散波＝ステップ進行波、波頭集合と掃過域
4. 設定ファイルの合理的なマージ
5. ファインマン／クリーネ総和の公式

他に、フロイド／ウォーシャル法とかベルマンの原理とか。