豊穣圏を一般化する、プロップ（PROP）とかオペラッドとか

PROPは PRoduct Operations and Permutations らしい。もはや語源はどうでもよくて、PROPが豊穣圏の一般化であることが重要だと思う。

X = (X, +, 0)がモノイド圏（対称とは限らない）、V = (V, ×, 1) が対称モノイド圏のとき、X上のV-豊穣圏を定義できる。これは通常の豊穣圏の定義を含み、PROPの定義と事実上同じである。以下では、用語「PROP」を「X上のV-豊穣圏」の意味で用いる。

PROPは、ホム対象を対応させる H:X→V という写像とVの射の族として与えられる。

• H:X→|V| (f:a→b) |→ H(f)
• γ_f,g :H(f)×H(g)→H(f;g) in V
• μ_f,g :H(f)×H(g)→H(f+g) in V
• ι_a :1→H(a) （a = id_a）

Aが単なる集合のとき、Aのタプルの集合A^*に上に完全グラフを作るとモノイド圏Xとなる。通常はこのようにして作ったモノイド圏の上にV-豊穣圏を作る。特にAが単元のときは、Xは自然数の完全グラフの圏となる。

オペラッドはPROPの部分系だと思ってよい。次が詳しいようだ（読んでないが）。

• Title: Operads and PROPs
• Authors: Martin Markl
• URL: http://arxiv.org/abs/math/0601129
• Pages: 49pages